В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Оказалось, что AH = BC + CH и угол ABC равен 81°. Найдите остальные углы треугольника ABC. 1. Сколько градусов составляет угол BAC?

Обозначим ∠BAC = A, ∠BCA = C, а высоту BH — h. Так как BH ⟂ AC, треугольники ABH и BCH прямоугольные.

Из треугольника ABH: AH = h · cot A. Из треугольника BCH: CH = h · cot C, BC = h / sin C.

По условию AH = BC + CH, поэтому cot A = 1 / sin C + cot C. Используя тождество 1 / sin C + cot C = cot(C / 2), получаем cot A = cot(C / 2). Углы A и C / 2 острые, следовательно, A = C / 2.

Сумма углов треугольника равна 180°: A + C + 81° = 180°. Подставим C = 2A: 3A = 99°, откуда A = 33°.

Ответ: 33°.