В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Оказалось, что AH = BC + CH и угол ABC равен 84°. Найдите угол BAC.

Обозначим угол BAC через α, а угол BCA через γ. Так как BH — высота, треугольники ABH и BCH прямоугольные.

Из треугольника ABH: AH = BH · ctg α. Из треугольника BCH: CH = BH · ctg γ, BC = BH / sin γ.

Подставим эти выражения в условие AH = BC + CH и сократим на BH:

ctg α = 1 / sin γ + ctg γ = (1 + cos γ) / sin γ = ctg(γ / 2).

Поскольку α и γ / 2 — острые углы, из равенства их котангенсов следует α = γ / 2. Сумма углов треугольника даёт α + γ = 180° − 84° = 96°. Поэтому 3α = 96°, откуда α = 32°.

Ответ: 32°.