В остроугольном треугольнике АВС проведена высота AR Докажите, что периметр треугольника ARC меньше периметра треугольника АВС.

Для доказательства того, что периметр треугольника $$ARC$$ меньше периметра треугольника $$ABC$$, рассмотрим соотношения между сторонами этих треугольников.

1. Обозначения:

   • Периметр треугольника $$ABC$$ обозначим как $$P_{ABC} = AB + BC + CA$$.
   • Периметр треугольника $$ARC$$ обозначим как $$P_{ARC} = AR + RC + CA$$.

2. Анализ сторон:

   • Сторона $$AC$$ является общей для обоих треугольников.
   • Сторона $$AR$$ является частью стороны $$AB$$, то есть $$AR < AB$$.
   • Нам нужно сравнить $$RC$$ и $$BC$$. Поскольку $$AR$$ - высота, то треугольник $$ARC$$ - прямоугольный.

3. Сравнение сторон $$RC$$ и $$BC$$:

   Рассмотрим треугольник $$ABR$$, в котором $$AR$$ является высотой. Тогда $$BC = BR + RC$$.

   В прямоугольном треугольнике $$ARC$$ гипотенуза $$AC$$ больше катета $$RC$$ ($$AC > RC$$).

4. Сравнение периметров:

   $$P_{ARC} = AR + RC + CA$$

   $$P_{ABC} = AB + BC + CA$$

   Нам нужно доказать, что $$AR + RC < AB + BC$$.

   Мы знаем, что $$AR < AB$$. Осталось показать, что $$RC < BC$$.

   Т.к. $$BC = BR + RC$$, то очевидно, что $$RC < BC$$, потому что $$BR > 0$$ (т.к. $$AR$$ - высота и $$R$$ лежит на $$BC$$).

5. Вывод:

   Поскольку $$AR < AB$$ и $$RC < BC$$, то сумма $$AR + RC < AB + BC$$.

   Следовательно, $$AR + RC + CA < AB + BC + CA$$, что означает $$P_{ARC} < P_{ABC}$$.

Ответ: Периметр треугольника $$ARC$$ меньше периметра треугольника $$ABC$$, что и требовалось доказать.