14. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА, и СС1. Докажите, что углы • АА,С, и АСС, равны.

Пошаговое решение:

1. Рассмотрим четырехугольник \(A_1BCC_1\). Углы \(A_1BC\) и \(C_1BC\) прямые (так как \(AA_1\) и \(CC_1\) — высоты), следовательно, точки \(A_1\) и \(C_1\) лежат на окружности с диаметром BC.
2. Четырехугольник \(A_1BCC_1\) — вписанный в окружность. Углы \(AA_1C_1\) и \(ACC_1\) опираются на одну и ту же дугу \(A_1C_1\) в этой окружности.
3. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Следовательно, углы \(AA_1C_1\) и \(ACC_1\) равны.

Ответ: Углы \(AA_1C_1\) и \(ACC_1\) равны.