В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА1 и СС1. Докажите, что углы СС1А1 и САА1 равны.

Дано:

• ΔABC — остроугольный.
• AA₁ — высота (AA₁ ⊥ BC).
• CC₁ — высота (CC₁ ⊥ AB).

Доказать: ∠CC₁A₁ = ∠CAA₁

Решение:

1. Рассмотрим четырехугольник AC₁A₁C.
2. Углы ∠AC₁C и ∠AA₁C являются прямыми, так как CC₁ и AA₁ — высоты.
3. Следовательно, ∠AC₁C = 90° и ∠AA₁C = 90°.
4. Четырехугольник AC₁A₁C вписан в окружность, так как сумма противоположных углов равна 180° (∠AC₁C + ∠AA₁C = 90° + 90° = 180°).
5. Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы AC (так как AC является диаметром этой окружности).
6. Углы ∠CC₁A₁ и ∠CAA₁ являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу A₁C.
7. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
8. Следовательно, ∠CC₁A₁ = ∠CAA₁.

Доказано.