В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК и CN, которые пересекаются в точке Н (см. рис.). Докажите, что: 1) треугольники АВК и CBN подобны; 2) треугольники KBN и АВС подобны. При выполнении задания необходимо сделать рисунок.

Ответ: Доказательство приведено ниже.

Разбираемся:

1. Докажем подобие треугольников АВК и CBN:
• Рассмотрим треугольники АВК и CBN.
• Угол В – общий.
• Угол АКВ = углу CNB = 90° (так как АК и CN – высоты).
• Следовательно, треугольники АВК и CBN подобны по двум углам (признак подобия треугольников).
2. Докажем подобие треугольников KBN и АВС:
• Рассмотрим треугольники KBN и ABC.
• Угол В – общий.
• Треугольник ABC – остроугольный, следовательно, углы A и C – острые.
• Сумма углов в треугольнике равна 180°, тогда угол A + угол C = 180° - угол B.
• Рассмотрим четырехугольник AKNC: угол AKC + угол ANC = 180°, следовательно, около него можно описать окружность.
• Угол NKC = углу NAC (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу).
• Следовательно, угол NKC = углу A.
• Тогда треугольники KBN и ABC подобны по двум углам (угол B – общий, угол NKC = углу A).

Ответ: Доказательство приведено выше.