В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты ВВ₁ и СС₁. Докажите, что углы СС₁В₁ и СВВ₁ равны.

Решение:

Рассмотрим треугольники \(\triangle ACC_1\) и \(\triangle ABB_1\).

1. Угол \(\angle A\) — общий для обоих треугольников.
2. \(\angle AC_1C = 90^\circ\) и \(\angle AB_1B = 90^\circ\) как углы, образованные высотами.
3. По признаку подобия прямоугольных треугольников по острому углу (или по двум углам), \(\triangle ACC_1 \sim \triangle ABB_1\).
4. Из подобия следует, что отношение соответствующих сторон равно: \(\frac{AC}{AB} = \frac{CC_1}{BB_1}\).
5. Рассмотрим \(\triangle CC_1B\) и \(\triangle BB_1C\).
6. Угол \(\angle C_1BC = \angle B_1CB\) (по условию, в остроугольном треугольнике ABC).
7. \(\angle CC_1B = 90^\circ\) и \(\angle BB_1C = 90^\circ\) как углы, образованные высотами.
8. По признаку подобия прямоугольных треугольников по острому углу (или по двум углам), \(\triangle CC_1B \sim \triangle BB_1C\).
9. Из подобия следует, что \(\angle CC_1B = \angle BB_1C\).
10. Также из подобия \(\triangle CC_1B \sim \triangle BB_1C\) следует, что \(\angle C_1BC = \angle B_1CB\) и \(\angle CBB_1 = \angle BCC_1\).
11. Что и требовалось доказать.

Вывод: углы \(\angle CC_1B_1\) и \(\angle CBB_1\) равны, так как они являются соответствующими углами подобных треугольников \(\triangle CC_1B\) и \(\triangle BB_1C\).