В остроугольном треугольнике MNK из точки D — середины стороны MK — проведены перпендикуляры DA и DB к сторонам MN и NK. Докажите, что если DA = DB, то треугольник MNK равнобедренный.

Question

Вопрос:

В остроугольном треугольнике MNK из точки D — середины стороны MK — проведены перпендикуляры DA и DB к сторонам MN и NK. Докажите, что если DA = DB, то треугольник MNK равнобедренный.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

По условию:

MNK — остроугольный треугольник.
D — середина MK, DA ⊥ MN, DB ⊥ NK.
DA = DB.

Доказать:

Треугольник MNK — равнобедренный.

Краткое пояснение: Рассмотрим прямоугольные треугольники и докажем их равенство. Из равенства треугольников следует равенство углов, а это означает, что MD — биссектриса угла N. Далее, поскольку MD — медиана, а MD — биссектриса, то треугольник MNK — равнобедренный.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ADN и BDN.
DA = DB (по условию), углы DAN и DBN — прямые (так как DA ⊥ MN, DB ⊥ NK), DN — общая сторона.
Следовательно, треугольники DAN и DBN равны по гипотенузе и катету.
Из равенства треугольников следует, что углы DNM и DNK равны. Таким образом, DN — биссектриса угла MDK.
Поскольку DN — биссектриса и медиана треугольника MNK, то треугольник MNK — равнобедренный.

Что и требовалось доказать.