3 В остроугольном треуголь нике MNK из точки D — се редины стороны MK — про ведены перпендикуляры DA и DB к сторонам MN и NK. Докажите, что если ∠ADM = ∠BDK, то треуголь ник MNK равнобедренный.

Рассмотрим решение задачи 3.

1) В остроугольном треугольнике MNK из точки D — середины стороны MK — проведены перпендикуляры DA и DB к сторонам MN и NK.

2) DA ⊥ MN, DB ⊥ NK, значит, ∠DAN = 90°, ∠DBK = 90°.

3) ∠ADM = ∠BDK (по условию).

4) MD = DK (D - середина MK).

5) Рассмотрим треугольники ADM и BDK: MD = DK, ∠ADM = ∠BDK, ∠DAN = ∠DBK = 90°, следовательно, треугольники ADM и BDK равны по гипотенузе и острому углу.

6) Из равенства треугольников следует, что AM = BK.

7) Рассмотрим треугольники AMN и BKN: AM = BK, MN = NK (так как треугольник MNK равнобедренный), ∠AMN = ∠BKN (так как углы при основании равнобедренного треугольника равны), следовательно, треугольники AMN и BKN равны по двум сторонам и углу между ними.

8) Из равенства треугольников следует, что ∠ANM = ∠BNK, значит, треугольник MNK равнобедренный.

Ответ: Треугольник MNK равнобедренный, что и требовалось доказать.