4. В озеро впадают 2 притока, скорость течения в каждом из которых 3 км/ч. База А расположена на первом при- токе в 30 км от озера, база В на втором притоке в 48 км от озера. Расстояние по озеру от одного притока до дру- гого 27 км. Бригада рыбнадзора на моторной лодке плы- вет от базы А к базе В (по первому притоку, по озеру и по второму притоку), при этом время движения от базы А до устья второго притока равно времени движения лод- ки по второму притоку. С какой скоростью движется моторная лодка по второму притоку? 5. При каком положительном значении параметра р один из корней квадратного уравнения х² - px + 48 = 0 в 3 раза больше другого?

Задача 4

Давай решим задачу 4 по шагам. Обозначим скорость лодки в стоячей воде как v км/ч. Скорость течения каждого притока равна 3 км/ч.

1. Движение по первому притоку (от базы A к озеру):

   Расстояние: 30 км

   Скорость: v - 3 км/ч (против течения)

   Время: t₁ = 30 / (v - 3)

2. Движение по озеру:

   Расстояние: 27 км

   Скорость: v км/ч (скорость лодки в стоячей воде)

   Время: t₂ = 27 / v

3. Движение по второму притоку (от озера к базе B):

   Расстояние: 48 км

   Скорость: v + 3 км/ч (по течению)

   Время: t₃ = 48 / (v + 3)

Общее время движения от базы A до устья второго притока: T₁ = t₁ + t₂ = 30 / (v - 3) + 27 / v

Время движения лодки по второму притоку: T₂ = t₃ = 48 / (v + 3)

По условию задачи, T₁ = T₂, следовательно:

\[ \frac{30}{v - 3} + \frac{27}{v} = \frac{48}{v + 3} \]

Решим это уравнение:

\[ 30v(v + 3) + 27(v - 3)(v + 3) = 48v(v - 3) \] \[ 30v^2 + 90v + 27(v^2 - 9) = 48v^2 - 144v \] \[ 30v^2 + 90v + 27v^2 - 243 = 48v^2 - 144v \] \[ 57v^2 + 90v - 243 = 48v^2 - 144v \] \[ 9v^2 + 234v - 243 = 0 \] \[ v^2 + 26v - 27 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно v. Дискриминант D = 26² - 4 * 1 * (-27) = 676 + 108 = 784.

Тогда v = (-26 ± √784) / 2 = (-26 ± 28) / 2. Получаем два возможных значения: v₁ = 1 и v₂ = -27.

Так как скорость не может быть отрицательной, v = 1 км/ч.

Скорость лодки по второму притоку равна v + 3 = 1 + 3 = 4 км/ч.

Задача 5

Решим задачу 5. Дано квадратное уравнение x² - px + 48 = 0.

Пусть x₁ и x₂ - корни уравнения, причем x₁ = 3x₂.

По теореме Виета:

\[ x₁ + x₂ = p \] \[ x₁ \cdot x₂ = 48 \]

Подставим x₁ = 3x₂ в первое уравнение:

\[ 3x₂ + x₂ = p \] \[ 4x₂ = p \]

Подставим x₁ = 3x₂ во второе уравнение:

\[ 3x₂ \cdot x₂ = 48 \] \[ 3x₂^2 = 48 \] \[ x₂^2 = 16 \]

Получаем два возможных значения для x₂: x₂ = 4 и x₂ = -4.

Так как x₁ = 3x₂, то если x₂ = 4, то x₁ = 12. Если x₂ = -4, то x₁ = -12.

Тогда p = x₁ + x₂. Если x₁ = 12 и x₂ = 4, то p = 12 + 4 = 16. Если x₁ = -12 и x₂ = -4, то p = -12 + (-4) = -16.

По условию задачи, требуется положительное значение параметра p, поэтому p = 16.