В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ ABCD, BAA₁B₁ и BCC₁B₁ — квадраты, точки K и M — середины отрезков A₁B₁ и B₁C₁ соответственно. Тогда cos ∠(AK, BM) = _____.

Так как ABCD — квадрат, AB = BC. Из того, что BAA₁B₁ и BCC₁B₁ — квадраты, следует, что AB = AA₁ = BC = BB₁. Значит, все рёбра параллелепипеда равны, а три направления рёбер, выходящих из B, попарно перпендикулярны.

Пусть длина ребра равна a. Выберем координаты: A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), A₁(0, 0, a), B₁(a, 0, a), C₁(a, a, a). Тогда, поскольку K и M — середины указанных отрезков, K(a/2, 0, a), M(a, a/2, a).

Направляющие векторы прямых AK и BM:

\(\overrightarrow{AK}=(a/2,0,a)\), \(\overrightarrow{BM}=(0,a/2,a)\).

Используем формулу косинуса угла между векторами:

\(\cos\angle(AK,BM)=\dfrac{\overrightarrow{AK}\cdot\overrightarrow{BM}}{|\overrightarrow{AK}|\,|\overrightarrow{BM}|}=\dfrac{a^2}{(a\sqrt{5}/2)(a\sqrt{5}/2)}=\dfrac{4}{5}.\)

Ответ: \(\dfrac{4}{5}\).