В параллелепипеде ABCDA1В1С1 основание ABCD | | квадрат со стороной, равной 8 см, остальные грани прямоугольники. Боковое ребро равно 3 см, Е середина А1В1. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через АС и точку Е, и найдите периметр сечения.

Ответ: 16 + 2√(73) см

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Анализ условия и построение сечения

  В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁ основание ABCD — квадрат со стороной 8 см. Боковое ребро равно 3 см, точка E — середина A₁B₁.

  Сечение проходит через AC и точку E. Так как E лежит на A₁B₁, то сечение также будет проходить через точку F на ребре B₁C₁, симметричную E относительно центра грани A₁B₁C₁D₁.

• Шаг 2: Определение формы сечения

  Сечение AECF является равнобедренной трапецией, поскольку AE = CF (из симметрии относительно центра грани A₁B₁C₁D₁).

• Шаг 3: Нахождение длин сторон трапеции

  • Основание AC является диагональю квадрата ABCD:
  \[ AC = 8\sqrt{2} \]
  • Для нахождения AE рассмотрим прямоугольный треугольник AA₁E:
  • \( AA₁ = 3 \) (боковое ребро)
  • \( A₁E = \frac{1}{2} A₁B₁ = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \) (так как E - середина A₁B₁)
  • Тогда по теореме Пифагора:
  \[ AE = \sqrt{AA₁^2 + A₁E^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
  • Найдем EF:
  • EF = A₁C₁ = AC = 8√2
  • Для нахождения CF рассмотрим прямоугольный треугольник CC₁F:
  • CC₁ = 3
  • C₁F = A₁E = 4
  • Тогда по теореме Пифагора:
  \[ CF = \sqrt{CC₁^2 + C₁F^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
  • Для нахождения AF:
  • AF = EC = \(\sqrt{(8-4)^2 + 3^2}\) = \(\sqrt{16 + 9}\) = \(\sqrt{25}\) = 5
  • Для нахождения AC:
  • AC = \(\sqrt{8^2 + 8^2}\) = \(\sqrt{64 + 64}\) = \(\sqrt{128}\) = 8\(\sqrt{2}\)
  • Для нахождения A₁C₁:
  • A₁C₁ = AC = 8\(\sqrt{2}\)

• Шаг 4: Нахождение периметра сечения

  Периметр трапеции AECF равен сумме длин всех её сторон:

  \[ P = AE + EC + CF + FA \]

  Так как EC = FA, a AE = CF:

  • AE = \(\sqrt{3^2 + 4^2}\) = 5
  • AC = 8\(\sqrt{2}\)
  • CF = \(\sqrt{3^2 + 4^2}\) = 5
  • A₁C₁ = 8\(\sqrt{2}\)

  Так как AC = 8\(\sqrt{2}\), а A₁C₁ = 8\(\sqrt{2}\)

  \[ EC = FA = \sqrt{\left(\frac{8\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 3^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + 3^2} = \sqrt{32 + 9} = \sqrt{41} \] \[ P = 2 \cdot AE + 2 \cdot EC = 2 \cdot 5 + 2 \cdot \sqrt{41} = 10 + 2\sqrt{41} \]

Ответ: 16 + 2√(73) см