В параллели 7-ых классов 80 учеников. Одиннадцать учеников участвовали в прыжках, 16 в соревнованиях по бегу, 12 в метании. Шесть учеников участвовали в прыжках и беге, 8 в беге и метании, 7 в прыжках и метании. Во всех трех соревнованиях участвовали только три ученика. Найдите, сколько учеников приняли участие только в беге.

Решение:

Обозначим множества учеников, участвующих в соревнованиях:

• П — прыжки
• Б — бег
• М — метание

Известно:

• Общее количество учеников: \( |U| = 80 \)
• \( |П| = 11 \)
• \( |Б| = 16 \)
• \( |М| = 12 \)
• \( |П \cap Б| = 6 \)
• \( |Б \cap М| = 8 \)
• \( |П \cap М| = 7 \)
• \( |П \cap Б \cap М| = 3 \)

Используем принцип включений-исключений для нахождения общего числа участников соревнований:

\( |П \cup Б \cup М| = |П| + |Б| + |М| - |П \cap Б| - |П \cap М| - |Б \cap М| + |П \cap Б \cap М| \)

\( |П \cup Б \cup М| = 11 + 16 + 12 - 6 - 7 - 8 + 3 \)

\( |П \cup Б \cup М| = 39 - 21 + 3 = 18 + 3 = 21 \)

Это количество учеников, принявших участие хотя бы в одном соревновании. Теперь найдем, сколько учеников участвовали только в беге. Для этого нам нужно вычесть из общего числа участников бега тех, кто участвовал в беге и других соревнованиях.

Участники, которые бежали и прыгали (но не метали): \( |(П \cap Б) \setminus М| = |П \cap Б| - |П \cap Б \cap М| = 6 - 3 = 3 \)

Участники, которые бежали и метали (но не прыгали): \( |(Б \cap М) \setminus П| = |Б \cap М| - |П \cap Б \cap М| = 8 - 3 = 5 \)

Участники, которые бежали, прыгали и метали: \( |П \cap Б \cap М| = 3 \)

Количество участников, которые участвовали только в беге:

\( |Б_{только}| = |Б| - |(П \cap Б) \setminus М| - |(Б \cap М) \setminus П| - |П \cap Б \cap М| \)

\( |Б_{только}| = 16 - 3 - 5 - 3 = 16 - 11 = 5 \)

Проверка:

Всего участников: \( (11-6-7+3) + (16-6-8+3) + (12-7-8+3) + (6-3) + (8-3) + (7-3) + 3 \)

\( (11-13+3) + (16-14+3) + (12-15+3) + 3 + 5 + 4 + 3 \)

\( 1 + 5 + 0 + 3 + 5 + 4 + 3 = 21 \). Верно.

Ответ: 5 учеников.