В параллелограмме \(ABCD\) биссектриса угла \(A\), равного \(60^\circ\), пересекает сторону \(BC\) в точке \(M\). Отрезки \(AM\) и \(DM\) перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если \(AB = 8\).

Решение:

Пусть \(ABCD\) – данный параллелограмм, \(AB = CD = 8\). Биссектриса угла \(A\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(M\), \(\angle A = 60^\circ\).

Так как \(AM\) – биссектриса угла \(A\), то \(\angle BAM = \angle MAD = \frac{1}{2} \angle A = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ\).

Так как \(AM \perp DM\), то \(\angle AMD = 90^\circ\).

Рассмотрим треугольник \(AMD\). Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), поэтому \(\angle ADM = 180^\circ - \angle MAD - \angle AMD = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ\).

Так как \(ABCD\) – параллелограмм, то \(\angle BCD = \angle BAD = 60^\circ\) и \(\angle ABC = \angle ADC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\).

Рассмотрим треугольник \(ABM\). \(\angle BAM = 30^\circ\), \(\angle ABM = 120^\circ\), следовательно, \(\angle AMB = 180^\circ - 30^\circ - 120^\circ = 30^\circ\). Значит, треугольник \(ABM\) – равнобедренный, и \(AB = BM = 8\).

Так как \(AD \parallel BC\), то \(\angle MAD = \angle BMA = 30^\circ\) как накрест лежащие углы. Тогда \(\angle AMD = 90^\circ\), и \(\angle DMA = 180 - 90 - 30 = 60^\circ\). Так как \(AD \parallel BC\), то \(\angle BMA = \angle MAD = 30^\circ\).

В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно \(BC = AD\). Так как \(BM = 8\), и \(MC = CD = 8\) (поскольку \(DM\) биссектриса угла \(D\)), то \(BC = BM + MC\). Следовательно, \(BC = 8 + 8 = 16\), и \(AD = 16\).

Периметр параллелограмма равен \(P = 2(AB + BC) = 2(8 + 16) = 2 \cdot 24 = 48\).