В параллелограмме \(ABCD\) биссектриса угла \(A\), величина которого равна \(60^\circ\), пересекает сторону \(BC\) в точке \(M\). Отрезки \(AM\) и \(DM\) перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если \(AB = 9\).

Ответ: 54

1. Определим углы в параллелограмме: \(\angle A = 60^\circ\) \(\angle B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\) (так как углы \(A\) и \(B\) - односторонние) \(\angle C = \angle A = 60^\circ\) \(\angle D = \angle B = 120^\circ\)
2. Рассмотрим треугольник \(AMD\). Так как \(AM \perp DM\), то \(\angle AMD = 90^\circ\). Следовательно, \(\angle MAD + \angle MDA = 90^\circ\).
3. Так как \(AM\) - биссектриса угла \(A\), то \(\angle BAM = \angle MAD = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ\). Тогда \(\angle MDA = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\).
4. Рассмотрим треугольник \(ABM\). \(\angle BAM = 30^\circ\), \(\angle ABM = 120^\circ\). Тогда \(\angle AMB = 180^\circ - 30^\circ - 120^\circ = 30^\circ\). Следовательно, треугольник \(ABM\) - равнобедренный, и \(AB = BM = 9\).
5. Рассмотрим треугольник \(CMD\). \(\angle CDM = \angle ADC - \angle ADM = 120^\circ - 60^\circ = 60^\circ\). \(\angle MCD = 60^\circ\). Следовательно, треугольник \(CMD\) - равносторонний, и \(CM = MD = CD\).
6. Рассмотрим треугольник \(AMD\) снова. \(\angle MAD = 30^\circ\), \(\angle ADM = 60^\circ\). Тогда \(MD = AD \cdot \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} AD\).
7. Так как \(BC = BM + MC\), а \(AD = BC\), то \(AD = 9 + MC\). И так как \(MC = CD = AB = 9\), то \(AD = 9 + 9 = 18\). Следовательно, \(MD = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9\).
8. Итак, стороны параллелограмма равны \(AB = CD = 9\) и \(AD = BC = 18\). Периметр параллелограмма равен \(P = 2(AB + AD) = 2(9 + 18) = 2 \cdot 27 = 54\).

Ответ: 54