1. В параллелограмме ABCD ∠A=45°, AB=3√2, ВС=5. Найти скалярное векторов: a) ADAB; б) ВА ВС; в) AD BH 2. Вычислите скалярное произведение векторов аи , если а a {-4; 5}, {-5; 4). 3. Вычислите косинус угла между векторами а и 万 , если а a {-12; 5}, {3,4}. 4. Даны векторы т {3; у} и п {2; -6}. При каком значении у эти векторы перпендикулярны? 5. Найдите косинус угла В треугольника с вершинами А (3; 9), B (0; 6), C (4; 2).

1. Скалярное произведение векторов

Давай разберем по порядку, как найти скалярное произведение векторов в параллелограмме ABCD.

a) \( \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} \)

В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Значит, \( AD = BC = 5 \). Угол между векторами \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{AB} \) равен углу A, то есть 45°.

Скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними:

\[ \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = |AD| \cdot |AB| \cdot \cos{45°} = 5 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5 \cdot 3 \cdot 1 = 15 \]

б) \( \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} \)

Угол между векторами \( \overrightarrow{BA} \) и \( \overrightarrow{BC} \) равен 180° - 45° = 135° (так как сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°).

\[ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = |BA| \cdot |BC| \cdot \cos{135°} = 3\sqrt{2} \cdot 5 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -3 \cdot 5 = -15 \]

в) \( \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BH} \)

ВН - высота параллелограмма, опущенная из вершины В на сторону AD. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В этом треугольнике \( AB = 3\sqrt{2} \), а угол A = 45°. Тогда \( AH = AB \cdot \cos{45°} = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3 \). Значит, \( AD = 5 \).

Так как \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{AH} \) сонаправлены, то \( \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AH} = |AD| \cdot |AH| = 5 \cdot 3 = 15 \).

Ответ: a) 15; б) -15; в) 15

---

2. Скалярное произведение векторов

Даны векторы \( \overrightarrow{a} \{-4; 5\} \) и \( \overrightarrow{b} \{-5; 4\} \).

Скалярное произведение векторов находится по формуле:

\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y \]

Подставим значения:

\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (-4) \cdot (-5) + 5 \cdot 4 = 20 + 20 = 40 \]

Ответ: 40

---

3. Косинус угла между векторами

Даны векторы \( \overrightarrow{a} \{-12; 5\} \) и \( \overrightarrow{b} \{3; 4\} \).

Косинус угла между векторами находится по формуле:

\[ \cos{\alpha} = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|a| \cdot |b|} \]

Сначала найдем скалярное произведение векторов:

\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (-12) \cdot 3 + 5 \cdot 4 = -36 + 20 = -16 \]

Теперь найдем длины векторов:

\[ |a| = \sqrt{(-12)^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \] \[ |b| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

Подставим значения в формулу косинуса:

\[ \cos{\alpha} = \frac{-16}{13 \cdot 5} = -\frac{16}{65} \]

Ответ: -16/65

---

4. Перпендикулярность векторов

Даны векторы \( \overrightarrow{m} \{3; y\} \) и \( \overrightarrow{n} \{2; -6\} \). Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

\[ \overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} = 3 \cdot 2 + y \cdot (-6) = 6 - 6y \]

Приравняем скалярное произведение к нулю:

\[ 6 - 6y = 0 \Rightarrow 6y = 6 \Rightarrow y = 1 \]

Ответ: y = 1

---

5. Косинус угла в треугольнике

Даны вершины треугольника A(3; 9), B(0; 6), C(4; 2). Найдем косинус угла B.

Для этого найдем векторы \( \overrightarrow{BA} \) и \( \overrightarrow{BC} \):

\[ \overrightarrow{BA} = \{3 - 0; 9 - 6\} = \{3; 3\} \] \[ \overrightarrow{BC} = \{4 - 0; 2 - 6\} = \{4; -4\} \]

Теперь найдем скалярное произведение векторов \( \overrightarrow{BA} \) и \( \overrightarrow{BC} \):

\[ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 3 \cdot 4 + 3 \cdot (-4) = 12 - 12 = 0 \]

Найдем длины векторов \( \overrightarrow{BA} \) и \( \overrightarrow{BC} \):

\[ |BA| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \] \[ |BC| = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \]

Косинус угла B:

\[ \cos{B} = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{|BA| \cdot |BC|} = \frac{0}{3\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}} = 0 \]

Ответ: 0

Молодец! Ты отлично справился с этими задачами! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!