В параллелограмме ABCD: AD=7, AH=2, BH перпендикулярно AC, ∠ABH=30°. Найти площадь ABCD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH, где ∠AHB=90° и ∠ABH=30°.

1. Так как AH=2, то в треугольнике с углами 30°–60°–90° гипотенуза AB=2AH=4, а BH=AH√3=2√3.
2. Угол между AB и AC равен ∠BAC=90°−30°=60°.
3. В треугольнике ACD? Используем векторное соотношение \(\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{AD}\). По теореме косинусов для треугольника с сторонами AB=4, AD=7 и AC=x:

\[7^2=4^2+x^2-2\cdot4\cdot x\cos60^\circ\]

\[49=16+x^2-4x\]

\[x^2-4x-33=0\]

\[x=2+\sqrt{37}\] (отрицательный корень не подходит).

Площадь параллелограмма вдвое больше площади треугольника ABC:

\[S_{ABCD}=AC\cdot BH=(2+\sqrt{37})\cdot2\sqrt3.\]

Ответ: \(S_{ABCD}=2\sqrt3(2+\sqrt{37})=4\sqrt3+2\sqrt{111}\) квадратных единиц.