В параллелограмме ABCD: BC = 16, AC = 20, ∠CAD = 30°. Найдите периметр и площадь параллелограмма.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому AD = BC = 16.

Найдём сторону CD из треугольника ACD по теореме косинусов:

\(CD^2=AD^2+AC^2-2\cdot AD\cdot AC\cos 30^\circ\).

\(CD^2=16^2+20^2-2\cdot16\cdot20\cdot\frac{\sqrt3}{2}=656-320\sqrt3\), поэтому \(CD=\sqrt{656-320\sqrt3}\).

Периметр: \(P=2(AD+CD)=32+2\sqrt{656-320\sqrt3}\approx 50.2\).

Площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника ACD:

\(S=2\cdot\frac12\cdot AD\cdot AC\sin30^\circ=16\cdot20\cdot\frac12=160\).

Ответ: периметр — \(32+2\sqrt{656-320\sqrt3}\approx 50.2\); площадь — 160.