18) В параллелограмме \(ABCD\) биссектриса угла \(A\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(M\). Отрезки \(AM\) и \(DM\) перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если \(AB = 8\).

**Решение:** 1. Так как \(AM\) - биссектриса угла \(A\), то \(\angle BAM = \angle MAD\). 2. Поскольку \(ABCD\) - параллелограмм, \(BC \parallel AD\), следовательно, \(\angle BMA = \angle MAD\) как накрест лежащие углы. Отсюда следует, что \(\angle BAM = \angle BMA\), а значит, треугольник \(ABM\) - равнобедренный, и \(AB = BM = 8\). 3. Так как \(AM \perp DM\), то \(\angle AMD = 90^{\circ}\). 4. Рассмотрим треугольник \(AMD\). Так как сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\), то \(\angle MAD + \angle ADM = 90^{\circ}\). 5. Поскольку \(ABCD\) - параллелограмм, \(\angle BAD + \angle ADC = 180^{\circ}\). Из этого следует, что \(2\angle MAD + 2\angle ADM = 180^{\circ}\), значит \(\angle MAD + \angle ADM = 90^{\circ}\). 6. Пусть \(M\) - точка на \(BC\), такая что \(BM = 8\). Так как \(AD = BC\) (свойство параллелограмма) и \(BC = BM + MC\), то \(AD = BM + MC\). 7. Так как \(AM \perp DM\) и \(AM\) - биссектриса, то \(AM\) и \(DM\) являются высотами, а значит, \(AM = DM\). Это означает, что треугольник \(AMD\) - прямоугольный и равнобедренный. Следовательно, \(\angle MAD = \angle ADM = 45^{\circ}\). 8. Значит \(\angle BAD = 2\cdot 45^{\circ} = 90^{\circ}\). Следовательно, \(ABCD\) - прямоугольник. 9. Треугольник \(AMD\) - прямоугольный равнобедренный, значит, \(AM = MD\) и \(\angle MAD = \angle MDA = 45^{\circ}\). 10. Так как \(AM \perp DM\), то \(AD^2 = AM^2 + DM^2 = 2AM^2\). Но мы не можем найти \(AM\) напрямую. 11. Раз \(ABCD\) - прямоугольник, значит \(\angle ABC = 90^{\circ}\), а так как \(ABM\) - равнобедренный, то \(\angle BAM = \angle BMA\), а \(\angle ABM = 90^{\circ}\). Значит, \(\angle BAM = \angle BMA = (180 - 90)/2 = 45^{\circ}\). 12. Так как \(AB = BM = 8\) и \(ABCD\) - прямоугольник, то \(AD = AM\). 13. \(CM = AD\). Значит, \(BC = BM + MC\). 14. \(AM = DM\) => \(\angle ADM = 45\). 15. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABM\): \(AB=8, BM=8\). 16. Так как \(AD = BC\) и \(AB=8\) и \(BM=8\), и \(MC=AM\). 17. \(AM=8\). 18. \(MC = AD - BM = x\) и т.д Более простое решение: Раз \(AM \perp DM\), то \(\angle AMD = 90^{\circ}\). Т.к. \(AM\) - биссектриса угла A, то \(\angle BAM = \angle MAD\). Т.к. AD || BC, то \(\angle MAD = \angle BMA\) (накрест лежащие). Следовательно, \(\angle BAM = \angle BMA\), и треугольник \(ABM\) равнобедренный, поэтому \(AB = BM = 8\). Т.к. \(AM \perp DM\), то углы \(\angle MAD\) и \(\angle MDA\) составляют 90 градусов вместе. Но \(\angle A = 2\angle MAD\) и \(\angle D = 2\angle MDA\), значит \(\angle A + \angle D = 180\). Тогда \(ABCD\) - прямоугольник (т.к. это параллелограмм с углом 90 градусов). Так как \(AD || BC\), то \(MC = AD\) (противоположные стороны прямоугольника равны). А т.к. \(AD = 8\) (т.к. \(AB = BM\)) то и \(AD = 8\). Тогда периметр равен \(2(8+8) = 32\). **Ответ: 32**