В параллелограмме ABCD биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке М. Отрезки АМ и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 6.

Решение:

• Рассмотрим параллелограмм ABCD. Так как AM - биссектриса угла A, то углы BAM и MAD равны. Обозначим их как α.

  \[\angle BAM = \angle MAD = \alpha\]

• Так как ABCD - параллелограмм, BC || AD, следовательно, углы BMA и MAD являются накрест лежащими и равны.

  \[\angle BMA = \angle MAD = \alpha\]

• В треугольнике ABM углы BAM и BMA равны, следовательно, треугольник ABM - равнобедренный, и AB = BM.

  \[AB = BM = 6\]

• Так как AM и DM перпендикулярны, угол AMD = 90°. Рассмотрим треугольник AMD. Сумма углов треугольника равна 180°:

  \[\angle MAD + \angle AMD + \angle ADM = 180^\circ\]

  \[\alpha + 90^\circ + \angle ADM = 180^\circ\]

  \[\angle ADM = 90^\circ - \alpha\]

• Теперь рассмотрим треугольник AMD и найдем угол ADC.

  \[\angle ADC = \angle ADM + \angle MDC\]

  Так как угол BCD = углу BAD, а AM и DM - биссектрисы углов BAD и ADC, то углы MAD и MDC равны.

  \[\angle MDC = \angle MAD = \alpha\]

  Следовательно,

  \[\angle ADC = (90^\circ - \alpha) + \alpha = 90^\circ\]

• Так как в параллелограмме ABCD угол ADC = 90°, то ABCD - прямоугольник.

• В прямоугольнике противоположные стороны равны. Так как AB = 6, то CD = 6. Так как BM = 6, а M лежит на стороне BC, то BC = 2BM = 2*6 = 12, следовательно, AD = 12.

• Периметр прямоугольника ABCD равен:

  \[P = 2(AB + BC) = 2(6 + 12) = 2 \cdot 18 = 36\]