3. В параллелограмме ABCD биссектриса угла А, равного 60°, пересекает сторону ВС в точке М. Отрезки АМ и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 7. Запишите решение и ответ.

Решение:

1. Рассмотрим параллелограмм ABCD, в котором угол A = 60° и AB = 7. Биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке M, и AM перпендикулярна DM.

2. Так как AM - биссектриса угла A, то угол BAM = углу MAD = 60° / 2 = 30°.

3. Поскольку AM и DM перпендикулярны, то угол AMD = 90°. Тогда в треугольнике AMD угол ADM = 180° - 90° - 30° = 60°.

4. Рассмотрим треугольник ABM. Угол BAM = 30°. Так как ABCD - параллелограмм, то угол B = 180° - угол A = 180° - 60° = 120°. Тогда в треугольнике ABM угол AMB = 180° - 120° - 30° = 30°.

5. Так как угол BAM = углу AMB = 30°, то треугольник ABM - равнобедренный, и AB = BM = 7.

6. Рассмотрим треугольник AMD. Угол MAD = 30°, угол ADM = 60°. Следовательно, угол AMD = 90°, то есть треугольник AMD - прямоугольный. Рассмотрим треугольник CDM. Угол CDM = ADM - ADC = 60° - 60° = 0. Значит CD||AM. Угол A = C = 60, AM биссектриса A, значит CM = AM = AB.

7. В параллелограмме ABCD, AD = BC = BM + MC. Также, так как ABCD - параллелограмм, то BC = AD и CD = AB = 7.

8. Рассмотрим треугольник AMD. Так как ∠AMD = 90, ∠MAD = 30, то ∠ADM = 60. ∠CDA = 180 - ∠BAD = 180 - 60 = 120. ∠CDM = ∠CDA - ∠ADM = 120 - 60 = 60. Так как ∠CDM = ∠AMD и CD || AM, то получается AD = 2*AB = 14.

9. Периметр параллелограмма ABCD равен P = 2 * (AB + AD) = 2 * (7 + 14) = 2 * 21 = 42.

Ответ: 42