В параллелограмме ABCD биссектриса угла A, равного 60°, пересекает сторону BC в точке М. Отрезки AM и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если AB=14.

Решение задачи

Дано:

• Параллелограмм ABCD.
• Биссектриса угла A.
• \( ∠A = 60^\circ \).
• Биссектриса пересекает BC в точке M.
• \( AM ⊥ DM \).
• \( AB = 14 \).

Найти: Периметр параллелограмма ABCD.

Решение:

1. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Значит, \( AB – BC = CD – DA \) и \( AB ‖ CD \), \( BC ‖ AD \).
2. Так как AM — биссектриса угла A, то \( ∠ BAM = ∠ MAD = \frac{1}{2} ∠ A = \frac{1}{2} \times 60^\circ = 30^\circ \).
3. Рассмотрим треугольник ABM. Углы \( ∠ BAM = 30^\circ \). Так как BC || AD, то \( ∠ AMB = ∠ MAD = 30^\circ \) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AM).
4. Таким образом, в треугольнике ABM \( ∠ BAM = ∠ AMB = 30^\circ \). Это означает, что треугольник ABM равнобедренный с основанием BM. Следовательно, \( AB = BM = 14 \).
5. Так как ABCD — параллелограмм, то \( BC = AD \) и \( BM + MC = BC \).
6. Рассмотрим треугольник AMD. Мы знаем, что \( AM ⊥ DM \), значит \( ∠ AMD = 90^\circ \).
7. Сумма углов в треугольнике AMD: \( ∠ MAD + ∠ ADM + ∠ AMD = 180^\circ \).
8. Подставляем известные значения: \( 30^\circ + ∠ ADM + 90^\circ = 180^\circ \).
9. Отсюда \( ∠ ADM = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).
10. В параллелограмме противоположные углы равны, значит \( ∠ BCD = ∠ BAD = 60^\circ \) и \( ∠ ABC = ∠ ADC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).
11. Рассмотрим треугольник CDM. \( ∠ MDC = ∠ ADC - ∠ ADM = 120^\circ - 60^\circ = 60^\circ \).
12. \( ∠ MCD = ∠ BCD = 60^\circ \).
13. Следовательно, треугольник CDM — равносторонний, так как все его углы равны 60°. Значит, \( CD = MC = DM \).
14. Так как ABCD — параллелограмм, \( CD = AB = 14 \).
15. Значит, \( MC = 14 \).
16. Теперь мы можем найти длину стороны BC: \( BC = BM + MC = 14 + 14 = 28 \).
17. Периметр параллелограмма вычисляется по формуле: \( P = 2(AB + BC) \).
18. Подставляем значения: \( P = 2(14 + 28) = 2(42) = 84 \).

Ответ: Периметр параллелограмма равен 84.