В параллелограмме ABCD биссектриса угла А, равного 60°, в точке М. Отрезки АМ и ДМ перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 14.

1. Так как AM - биссектриса угла A, то $$\angle BAM = \angle MAD = 60°/2 = 30°$$. Так как DM перпендикулярна AM, то $$\angle AMD = 90°$$. В треугольнике AMD $$\angle ADM = 180° - 90° - 30° = 60°$$.
2. Так как ABCD - параллелограмм, то $$\angle D = 180° - \angle A = 180° - 60° = 120°$$. Следовательно, $$\angle CDM = 120° - 60° = 60°$$. В треугольнике CDM $$\angle CMD = 180° - 90° - 60° = 30°$$.
3. Так как $$\angle MAD = \angle AMD = 30°$$, то треугольник AMD равнобедренный с $$AD = DM$$. Так как $$\angle CDM = \angle CMD = 60°$$, то треугольник CDM равносторонний, $$CD = DM = CM$$.
4. Так как AM - биссектриса, то $$AB = BM = 14$$. Так как DM перпендикулярна AM, то AD = 2 * AM. В треугольнике AMD, $$AD = 2 * AM$$. В треугольнике CDM, $$CM = DM / \sqrt{3}$$.
5. Периметр параллелограмма равен $$2(AB + AD)$$. Так как $$AD = DM$$ и $$CM = DM$$, то $$AD = CM$$. Так как $$AB = 14$$, то $$AD = 2 * AM$$. В треугольнике AMD, $$AM = AD * \cos(30°)$$. $$AD = 2 * AM$$. $$AD = 2 * (AD * \cos(30°))$$. $$1 = 2 * \cos(30°)$$, что неверно. Пересмотрим.
6. В треугольнике AMD, $$\angle MAD = 30°$$, $$\angle AMD = 90°$$, $$\angle ADM = 60°$$. Следовательно, $$AM = AD * \sin(60°)$$ и $$DM = AD * \cos(60°) = AD/2$$.
7. В треугольнике CDM, $$\angle CDM = 120° - 60° = 60°$$, $$\angle CMD = 30°$$. Следовательно, $$CM = DM * \sin(60°) = (AD/2) * (\sqrt{3}/2) = AD\sqrt{3}/4$$ и $$CD = DM / \sin(30°) = (AD/2) / (1/2) = AD$$.
8. Так как ABCD - параллелограмм, $$AB = CD$$. Следовательно, $$14 = AD$$.
9. Периметр параллелограмма равен $$2(AB + AD) = 2(14 + 14) = 56$$.