В параллелограмме ABCD биссектриса угла A, величина которого равна 60°, пересекает сторону BC в точке M. Отрезки AM и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если AB = 9.

Для решения этой задачи, нам потребуется использовать свойства параллелограмма и биссектрисы угла. 1. Угол A и биссектриса: Угол \( A = 60^{\circ} \). Так как AM - биссектриса, то угол \( \angle BAM = \angle MAC = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \). 2. Углы в параллелограмме: В параллелограмме противоположные углы равны, значит, \( \angle C = \angle A = 60^{\circ} \). 3. Рассмотрим треугольник \( \triangle AMD \): Так как \( AM \) и \( DM \) перпендикулярны, то \( \angle AMD = 90^{\circ} \). Тогда \( \angle MAD + \angle MDA = 90^{\circ} \). Мы знаем, что \( \angle MAD = 30^{\circ} \), следовательно, \( \angle MDA = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \). 4. Рассмотрим треугольник \( \triangle ABM \): Так как \( \angle BAM = 30^{\circ} \), найдем \( \angle AMB \). Угол \( \angle AMC \) смежный с \( \angle AMB \), и \( \angle AMC = 180^{\circ} - \angle AMD = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \). Значит, \( \angle AMB = 180^{\circ} - \angle AMC = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \). 5. Рассмотрим треугольник \( \triangle CDM \): Угол \( \angle MDC = 60^{\circ} \). \( \angle C = 60^{\circ} \). Следовательно, \( \triangle CDM \) - равносторонний, и \( CD = CM = DM \). 6. Свойство параллелограмма: \( AB = CD = 9 \) 7. Рассмотрим треугольник \( \triangle ABM \): Так как \( \angle AMB = 90^{\circ} \) и \( \angle BAM = 30^{\circ} \), то \( \angle ABM = 60^{\circ} \). Значит, \( \triangle ABM \) - прямоугольный. 8. Найдем \( AM \): В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABM \), \( AM = AB \cos(30^{\circ}) = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \). 9. Найдем \( BC \): Так как \( \triangle CDM \) - равносторонний, то \( DM = CD = 9 \). Поскольку \( BM = AD \), а \( AD = 2 \cdot DM \), то \( BM = 2 \cdot 9 = 18 \). Так как \( BC = BM + MC \), то \( MC = 9 \), следовательно \( BC = 18 + 9 = 27 \). 10. Периметр параллелограмма: Периметр \( P = 2(AB + BC) = 2(9 + 27) = 2(36) = 72 \). Ответ: 72