В параллелограмме АBCD биссектриса угла А, величина которого равна 60°, пересекает сторону ВС в точке М. Отрезки АМ и С перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если AB = 2.

Обозначим угол ∠ВAM = ∠MAD = 60°/2 = 30°. Так как AM ⊥ CD, то ∠AMD = 90°.

Рассмотрим треугольник AMD. ∠MAD = 30°, ∠AMD = 90°, следовательно, ∠ADM = 180° - 90° - 30° = 60°. Т.к. ∠ADC = ∠A = 60°, то DM – биссектриса угла ADC.

В параллелограмме противоположные стороны равны, значит ∠ADC = ∠ABC = 60°. Так как ∠BAM = ∠MAD и AM ⊥ CD, то AMD – равнобедренный треугольник, следовательно AD = AM.

Рассмотрим треугольник ABM. ∠ABM = 180° - 60° = 120°. ∠BAM = 30°. Следовательно, ∠AMB = 180° - 120° - 30° = 30°, значит ABM – равнобедренный треугольник, следовательно AB = BM = 2.

Т.к. AD = BC и BC = BM + MC, и т.к. BM = AB и AD = BC = 2 + MC , то AD = BC = 2 + MC. В прямоугольном треугольнике AMC: ∠MAC = 30°, ∠AMC = 90° - ∠MAC = 90° - 30° = 60°.

В прямоугольном треугольнике AMC против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. MC = 1/2 AM = 1/2 AD. Т.к. AD = 2 + MC = 2 + 1/2 AD , то 1/2 AD = 2 и AD = 4.

Периметр параллелограмма P = 2(AB + AD) = 2(2 + 4) = 2 × 6 = 12.

Ответ: 12