В параллелограмме ABCD биссектриса угла А, величина которого равна 60°, пересекает сторону ВС в точке М. Отрезки АМ и ДМ перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 9.

Ответ: 54

Решение:

• Шаг 1: Анализ углов и сторон
  • Угол \(A = 60^\circ\), значит, угол \(BAM = CAM = 30^\circ\).
  • Так как \(AM\) и \(DM\) перпендикулярны, угол \(AMD = 90^\circ\).
• Шаг 2: Определение углов в треугольнике \(ABM\)
  • Угол \(B\) в параллелограмме равен \(180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\).
  • Следовательно, угол \(AMB = 180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ\).
• Шаг 3: Вывод о треугольнике \(ABM\)
  • Так как углы \(BAM\) и \(AMB\) равны, треугольник \(ABM\) равнобедренный, и \(AB = BM = 9\).
• Шаг 4: Анализ треугольника \(AMD\)
  • Угол \(MAD = 30^\circ\), угол \(AMD = 90^\circ\), следовательно, угол \(MDA = 60^\circ\).
• Шаг 5: Определение треугольника \(CDM\)
  • Угол \(CDM = 90^\circ - MDA = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\).
  • Угол \(DCM = 120^\circ\), следовательно, угол \(CMD = 180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ\).
• Шаг 6: Вывод о треугольнике \(CDM\)
  • Так как углы \(CDM\) и \(CMD\) равны, треугольник \(CDM\) равнобедренный, и \(CD = CM\).
• Шаг 7: Нахождение стороны \(BC\)
  • \(BC = BM + MC\), а так как \(MC = CD = AB = 9\), то \(BC = 9 + 9 = 18\).
• Шаг 8: Вычисление периметра параллелограмма
  • Периметр \(P = 2(AB + BC) = 2(9 + 18) = 2 \cdot 27 = 54\).

Ответ: 54