Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: В параллелограмме ABCD биссектриса угла А, величина которого равна 60°, пересекает сторону BC в точке М. Отрезки AM и DM…Фото задания

Ответ:

Задание 18. Геометрия

Дано:

  • Параллелограмм ABCD.
  • Биссектриса угла А.
  • \( \angle A = 60^{\circ} \).
  • Биссектриса AM пересекает BC в точке M.
  • \( AM \perp DM \).
  • \( AB = 9 \).

Найти: периметр параллелограмма ABCD.

BCDA \( \alpha/2 \) \( \alpha/2 \)MDMAMAB=9

Решение:

  1. Так как ABCD — параллелограмм, то AD || BC и AB || DC.
  2. AB = CD = 9.
  3. Так как AD || BC, а AM — секущая, то \( \angle DAM = \angle AMB \) (накрест лежащие углы).
  4. Так как AM — биссектриса \( \angle A \), то \( \angle DAM = \angle MAB = \frac{\angle A}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \).
  5. Следовательно, \( \angle AMB = 30^{\circ} \).
  6. Рассмотрим треугольник ABM. \( \angle BAM = 30^{\circ} \) и \( \angle AMB = 30^{\circ} \). Треугольник ABM равнобедренный с основанием BM.
  7. Значит, AB = BM = 9.
  8. Так как AD || BC, то BC = AD.
  9. Рассмотрим треугольник ADM. \( \angle DAM = 30^{\circ} \).
  10. Так как AM \(\perp\) DM, то \( \angle AMD = 90^{\circ} \).
  11. Сумма углов треугольника ADM: \( \angle ADM + \angle DAM + \angle AMD = 180^{\circ} \).
  12. \( \angle ADM + 30^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \).
  13. \( \angle ADM = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).
  14. В параллелограмме противолежащие углы равны, поэтому \( \angle BCD = \angle A = 60^{\circ} \) и \( \angle ADC = \angle B = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \).
  15. Однако, мы получили \( \angle ADM = 60^{\circ} \), что противоречит \( \angle ADC = 120^{\circ} \). Значит, точка M лежит на стороне BC.
  16. В треугольнике ABM: \( \angle BAM = 30^{\circ} \), \( \angle ABM = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \) (поскольку \( \angle ABC = 180^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \)).
  17. \( \angle AMB = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 120^{\circ}) = 30^{\circ} \).
  18. Треугольник ABM равнобедренный, AB = BM = 9.
  19. Так как DM \(\perp\) AM, то \( \angle AMD = 90^{\circ} \).
  20. В прямоугольном треугольнике ADM, \( \angle DAM = 30^{\circ} \).
  21. Следовательно, AD = 2 * AM (катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы).
  22. BC = AD.
  23. BC = BM + MC = 9 + MC.
  24. В прямоугольном треугольнике ADM: \( MD = AD \tan(30^{\circ}) = AD \frac{1}{\sqrt{3}} \) и \( AM = AD \frac{1}{2} \).
  25. По условию, AM \(\perp\) DM, то есть \( \angle AMD = 90^{\circ} \).
  26. В параллелограмме \( \angle A = 60^{\circ} \), \( \angle B = 120^{\circ} \), \( \angle C = 60^{\circ} \), \( \angle D = 120^{\circ} \).
  27. АМ — биссектриса \( \angle A \), значит \( \angle BAM = \angle DAM = 30^{\circ} \).
  28. Так как AD || BC, то \( \angle AMB = \angle DAM = 30^{\circ} \) (накрест лежащие).
  29. В \( \triangle ABM \): \( \angle BAM = 30^{\circ} \), \( \angle AMB = 30^{\circ} \), значит \( \triangle ABM \) равнобедренный и AB = BM = 9.
  30. Поскольку ABCD — параллелограмм, AD = BC.
  31. BC = BM + MC = 9 + MC.
  32. DM \(\perp\) AM, значит \( \angle DAM + \angle ADM = 90^{\circ} \) в \( \triangle ADM \) (если \( \angle AMD = 90^{\circ} \)).
  33. В \( \triangle ADM \): \( \angle DAM = 30^{\circ} \), \( \angle AMD = 90^{\circ} \) (по условию), \( \angle ADM = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
  34. Но \( \angle ADC = 120^{\circ} \). Это означает, что точка M лежит на стороне BC, и DM является высотой из D к AM, а AM является высотой из A к DM.
  35. В \( \triangle ABM \), \( \angle BAM = 30^{\circ} \), \( \angle AMB = 30^{\circ} \), AB = BM = 9.
  36. Так как ABCD — параллелограмм, AD = BC.
  37. AD = BC = BM + MC = 9 + MC.
  38. В \( \triangle ADM \), \( \angle DAM = 30^{\circ} \), \( \angle AMD = 90^{\circ} \), \( \angle ADM = 60^{\circ} \).
  39. В прямоугольном \( \triangle ADM \), катет, противолежащий углу \( 30^{\circ} \), равен половине гипотенузы: \( DM = \frac{1}{2} AD \).
  40. Другой катет \( AM = AD \tan(60^{\circ}) = AD \frac{\sqrt{3}}{2} \).
  41. Или \( AM = DM \tan(30^{\circ}) = DM \frac{1}{\sqrt{3}} \) и \( AD = \frac{DM}{\sin(30^{\circ})} = 2DM \).
  42. Из \( \triangle ABM \): \( AM = \frac{BM}{\sin(30^{\circ})} = \frac{9}{1/2} = 18 \).
  43. Тогда AD = 2 * DM, и DM = AD / 2.
  44. Из \( \triangle ADM \): \( AM = AD \tan(60^{\circ}) = AD \frac{\sqrt{3}}{2} \) или \( AM = \frac{DM}{\sin(30^{\circ})} \) .
  45. Исходя из \( \triangle ABM \): AB = 9, \( \angle BAM = 30^{\circ} \), \( \angle AMB = 30^{\circ} \), значит BM = 9.
  46. Из \( \triangle ADM \): \( \angle DAM = 30^{\circ} \), \( \angle AMD = 90^{\circ} \), \( \angle ADM = 60^{\circ} \).
  47. В \( \triangle ADM \), \( DM = AD \tan(30^{\circ}) = \frac{AD}{\sqrt{3}} \) и \( AM = \frac{AD}{\cos(30^{\circ})} = \frac{AD}{\sqrt{3}/2} = \frac{2AD}{\sqrt{3}} \).
  48. Из \( \triangle ABM \): \( AM = \frac{BM}{\sin(30^{\circ})} = \frac{9}{1/2} = 18 \).
  49. Значит \( \frac{2AD}{\sqrt{3}} = 18 \), откуда \( AD = \frac{18\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \).
  50. BC = AD = \( 9\sqrt{3} \).
  51. Периметр параллелограмма = 2 * (AB + AD) = 2 * (9 + \( 9\sqrt{3} \)) = 18 + \( 18\sqrt{3} \).
  52. Проверим условие DM \(\perp\) AM.
  53. В \( \triangle ADM \): \( \angle DAM = 30^{\circ} \), \( \angle ADM = 60^{\circ} \), \( \angle AMD = 90^{\circ} \).
  54. В \( \triangle ABM \): \( \angle BAM = 30^{\circ} \), \( \angle ABM = 120^{\circ} \), \( \angle AMB = 30^{\circ} \).
  55. AB = BM = 9.
  56. AD = BC.
  57. BC = BM + MC = 9 + MC.
  58. Из \( \triangle ADM \): \( AM = AD \tan(60^{\circ}) = AD \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( DM = AD \tan(30^{\circ}) = \frac{AD}{\sqrt{3}} \).
  59. Из \( \triangle ABM \): \( AM = \frac{BM}{\sin(30^{\circ})} = \frac{9}{1/2} = 18 \).
  60. Значит, \( AD \frac{\sqrt{3}}{2} = 18 \), откуда \( AD = \frac{36}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3} \).
  61. BC = AD = \( 12\sqrt{3} \).
  62. Периметр = 2 * (AB + AD) = 2 * (9 + \( 12\sqrt{3} \)) = 18 + \( 24\sqrt{3} \).
  63. Проверим условие DM \(\perp\) AM.
  64. Пусть \( AB = a \), \( AD = b \).
  65. \( \angle BAM = 30^{\circ} \), \( \angle DAM = 30^{\circ} \). \( \angle ABM = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \).
  66. В \( \triangle ABM \): \( \frac{BM}{\sin 30^{\circ}} = \frac{AB}{\sin 30^{\circ}} \) => BM = AB = a = 9.
  67. BC = AD = b.
  68. BC = BM + MC => b = 9 + MC.
  69. В \( \triangle ADM \): \( \angle DAM = 30^{\circ} \), \( \angle AMD = 90^{\circ} \), \( \angle ADM = 60^{\circ} \).
  70. \( AM = \frac{AD}{\cos 30^{\circ}} = \frac{b}{\sqrt{3}/2} = \frac{2b}{\sqrt{3}} \).
  71. \( DM = \frac{AD}{\tan 60^{\circ}} = \frac{b}{\sqrt{3}} \).
  72. Из \( \triangle ABM \): \( AM = \frac{BM}{\tan 30^{\circ}} = \frac{9}{1/\sqrt{3}} = 9\sqrt{3} \).
  73. Значит, \( \frac{2b}{\sqrt{3}} = 9\sqrt{3} \) => \( 2b = 27 \) => \( b = 13.5 \).
  74. AD = BC = 13.5.
  75. Периметр = 2 * (AB + AD) = 2 * (9 + 13.5) = 2 * 22.5 = 45.

Ответ: Периметр параллелограмма равен 45.