В параллелограмме ABCD биссектриса угла А, величина которого равна 60°, пересекает сторону ВС в точке М. Отрезки АМ и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 9.

1. Так как AM - биссектриса угла A, то $$\angle BAM = \angle MAD = 60°/2 = 30°$$.

2. В параллелограмме AB || DC и AD || BC. Так как AD || BC, то $$\angle AMB = \angle MAD = 30°$$ (как накрест лежащие углы).

3. В треугольнике ABM: $$\angle ABM = 180° - 90° = 90°$$ (так как AM и DM перпендикулярны, а DM || AB, то AM перпендикулярна AB). Следовательно, $$\angle AMB = 30°$$ и $$\angle BAM = 30°$$. Треугольник ABM равнобедренный с AB = BM = 9.

4. Так как ABCD - параллелограмм, то BC = AD и AB = DC = 9. Также BC = BM + MC. Так как AM и DM перпендикулярны, и DM || AB, то AM перпендикулярна AB. В параллелограмме ABCD, угол A = 60°, угол B = 90°, угол C = 120°, угол D = 90°.

5. Так как угол B = 90°, то ABCD - прямоугольник. Следовательно, AD = BC = 9. Периметр параллелограмма равен $$2(AB + BC) = 2(9 + 9) = 36$$.