В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 74°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Обозначим длину стороны \(AB\) через \(a\). Так как \(CD\parallel AB\), угол между диагональю \(AC\) и стороной \(AB\) равен \(74^\circ\).

Рассмотрим векторы. Пусть \(\vec{AB}=\vec b\), \(\vec{AD}=\vec d\). Тогда \(\vec{AC}=\vec b+\vec d\), причём \(|AC|=2a\).

Вторая диагональ:

\[\vec{BD}=\vec d-\vec b=\vec{AC}-2\vec b.\]

Вычислим косинус угла \(\theta\) между диагоналями. Учитывая, что угол между \(\vec{AC}\) и \(\vec b\) равен \(74^\circ\), получаем:

\[\vec{AC}\cdot\vec{BD}=|AC|^2-2\vec{AC}\cdot\vec b\]

\[=4a^2-2\cdot 2a\cdot a\cos74^\circ=4a^2(1-\cos74^\circ).\]

Также:

\[|BD|^2=|\vec{AC}-2\vec b|^2=8a^2(1-\cos74^\circ).\]

Следовательно,

\[\cos\theta=\frac{4a^2(1-\cos74^\circ)}{2a\cdot a\sqrt{8(1-\cos74^\circ)}}=\sqrt{\frac{1-\cos74^\circ}{2}}.\]

Так как \(\frac{1-\cos74^\circ}{2}=\sin^2 37^\circ\), то

\[\cos\theta=\sin37^\circ=\cos53^\circ.\]

Ответ: 53°.