В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и угол ACD равен 164°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма.

Обозначим длину AB через a. В параллелограмме CD = AB = a, а по условию AC = 2a. Рассмотрим треугольник ACD: угол между AC и CD равен 164°, поэтому угол между AC и направлением стороны AB, параллельной CD, равен 16°.

Пусть вектор AC направлен вдоль оси x. Проекция вектора AB на AC равна a cos 16°, а его перпендикулярная составляющая по модулю равна a sin 16°. Вектор диагонали BD получается как вектор AC минус два вектора AB. Поэтому его составляющие вдоль и перпендикулярно AC пропорциональны 2(1 − cos 16°) и 2 sin 16°.

Тогда тангенс меньшего угла φ между диагоналями равен sin 16°/(1 − cos 16°) = cot 8°, откуда φ = 82°.

Ответ: 82°.