В параллелограмме ABCD диагональ АС в 2 раза больше стороны АВ и ∠ACD = 154°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Пусть сторона AB = a, тогда AC = 2a.

В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, CD = AB = a.

Рассмотрим треугольник ADC. В нем AC = 2a, CD = a. Обозначим угол CAD через x.

По теореме синусов:

$$ \frac{CD}{\sin{\angle CAD}} = \frac{AC}{\sin{\angle ADC}} $$

Выразим \(\sin{\angle ADC}\):

$$ \sin{\angle ADC} = \frac{AC \cdot \sin{\angle CAD}}{CD} = \frac{2a \cdot \sin{x}}{a} = 2\sin{x} $$

Угол ADC можно найти как смежный с углом ACD: \(\angle ADC = 180^{\circ} - \angle ACD = 180^{\circ} - 154^{\circ} = 26^{\circ}\)

Тогда \(\sin{26^{\circ}} = 2\sin{x}\), откуда \(\sin{x} = \frac{\sin{26^{\circ}}}{2} \approx \frac{0.438}{2} \approx 0.219\).

Значит, \(x = \arcsin{0.219} \approx 12.6^{\circ}\).

Теперь рассмотрим треугольник, образованный точкой пересечения диагоналей (O), стороной AD и частью диагонали AC. Пусть угол между диагоналями, который нам нужно найти, равен \(\alpha\).

Угол DAO равен углу BCA как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC. Угол BCA = CAD = x.

В параллелограмме углы, прилежащие к одной стороне, в сумме дают 180 градусов. Следовательно, угол BAD = 180 - угол ADC = 180 - 26 = 154 градуса.

Значит, угол BAO = угол BAD - угол CAD = 154 - 12.6 = 141.4 градуса.

В треугольнике ABO: угол OAB = 141.4, угол ABO = углу CDO = ACD - CAD = 154 - 12.6 = 141.4, угол AOB = \(\alpha\).

Тогда \(\alpha = 180 - (141.4 + 12.6) = 180 - 154 = 26^{\circ}\).

Рассмотрим треугольник DOC. Угол OCD = 154. Угол ODC = углу OAB, так как они накрест лежащие. Получаем угол ODC = 12.6.

Угол между диагоналями: 180 - 154 - 12.6 = 13.4. Данное решение не подходит.

Предположим, что угол между диагоналями острый. Этот угол можно найти, если вычесть из 180 два других угла в треугольнике, образованном сторонами параллелограмма и диагоналями.

По свойствам параллелограмма, диагонали в точке пересечения делятся пополам. Угол ADC = 26 градусов.

Найдём угол DAC = \(\alpha\) используя теорему синусов: $$ \frac{AC}{\sin ADC} = \frac{CD}{\sin \alpha} $$ $$ \frac{2a}{\sin 26} = \frac{a}{\sin \alpha} $$ $$ \sin \alpha = \frac{a \cdot \sin 26}{2a} = \frac{\sin 26}{2} $$ $$ \alpha = \arcsin (\frac{\sin 26}{2}) = \arcsin (\frac{0.438}{2}) = \arcsin (0.219) \approx 12.64 $$ Угол DAC = 12.64 градуса

Рассмотрим треугольник DOC, в котором мы нашли угол ACD = 154 и угол ADC = 26. Следовательно, угол COD = 180 - 154 - 12.64 = 13.36.

Угол DOC и угол AOB являются вертикальными и равны. Угол между диагоналями равен 13.36. Округлим до целого числа 13.

Ответ: 13