В параллелограмме ABCD диагональ АС в 2 раза больше стороны АВ и ∠ACD = 169°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Пусть O - точка пересечения диагоналей. В треугольнике ACD, AC = 2AB. В параллелограмме AB = CD. Следовательно, AC = 2CD. В треугольнике ACD, AC > CD. Угол ∠ACD = 169° является внешним углом треугольника ABC. Угол ∠CAD = 180° - 169° = 11°. В треугольнике ABC, AC = 2AB. По теореме синусов, BC/sin(∠BAC) = AB/sin(∠BCA) = AC/sin(∠ABC). Так как AC = 2AB, то sin(∠ABC) = 2sin(∠BCA). Угол ∠ABC + ∠BCA + ∠BAC = 180°. Угол между диагоналями - это углы ∠AOB, ∠BOC, ∠COD, ∠DOA. Угол ∠COD = ∠BAC. Угол ∠AOB = ∠COD. Угол ∠BOC = ∠DOA. В треугольнике COD, CD/sin(∠COD) = OD/sin(∠OCD) = CO/sin(∠CDO). Так как AC = 2AB и AB = CD, то AC = 2CD. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому CO = AO = AC/2. Следовательно, CO = CD. Треугольник COD равнобедренный. Угол ∠OCD = ∠ODC. Угол ∠ACD = 169°. Угол ∠OCD = 180° - 169° = 11°. Тогда ∠ODC = 11°. Угол ∠COD = 180° - (11° + 11°) = 180° - 22° = 158°. Это тупой угол между диагоналями. Меньший угол равен 180° - 158° = 22°.