В параллелограмме ABCD диагональ АС в 2 раза больше стороны АВ и ∠ACD = 68°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Пусть \( AB = a \). По условию \( AC = 2a \).
2. В параллелограмме \( AB = CD = a \).
3. Рассмотрим \( \triangle ACD \). По теореме синусов: \( \frac{CD}{\sin(\angle CAD)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)} \).
4. \( \frac{a}{\sin(\angle CAD)} = \frac{2a}{\sin(\angle ADC)} \)
5. \( \sin(\angle ADC) = 2 \sin(\angle CAD) \).
6. \( \angle ADC = 180° - \angle BCD \).
7. \( \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = \angle BCA + 68° \).
8. \( \angle ABC = \angle ADC \). \( \angle BAD = \angle BCD \).
9. \( \angle BAD + \angle ADC = 180° \).
10. В \( \triangle ABC \): \( AB=a \). \( BC = AD \). \( AC = 2a \).
11. В \( \triangle ACD \): \( CD=a \). \( AC=2a \). \( \angle ACD = 68° \).
12. Пусть \( O \) — точка пересечения диагоналей. \( AO = OC = a \). \( BO = OD \).
13. В \( \triangle AOB \): \( AB=a \), \( AO=a \). Следовательно, \( \triangle AOB \) — равнобедренный. \( \angle OAB = \angle OBA \).
14. В \( \triangle BOC \): \( OC=a \), \( BO=OD \).
15. В \( \triangle COD \): \( CD=a \), \( OC=a \), \( OD=OD \). \( \triangle COD \) — равнобедренный. \( \angle OCD = \angle ODC \).
16. В \( \triangle AOD \): \( AO=a \), \( OD=OD \).
17. \( \angle ACD = 68° \). \( \angle CAD = ? \). \( \angle ADC = ? \).
18. В \( \triangle ACD \), \( AO = OC = a \). \( CD = a \).
19. Рассмотрим \( \triangle COD \). \( CD=a \), \( OC=a \). Это равнобедренный треугольник.
20. \( \angle ODC = \angle OCD = 68° \).
21. Тогда \( \angle COD = 180° - (68° + 68°) = 180° - 136° = 44° \).
22. Угол \( \angle AOB = \angle COD = 44° \) (как вертикальные).
23. Угол \( \angle BOC = \angle AOD = 180° - 44° = 136° \).
24. Меньший угол между диагоналями равен 44°.

Ответ: 44