18. В параллелограмме ABCD диагональ АС в два раза больше стороны АВ и ∠ACD = 112°. Найди острый угол между диагоналями параллелограмма.

Рассмотрим параллелограмм ABCD, в котором диагональ AC в два раза больше стороны AB и угол ACD равен 112°.

Пусть AB = a, тогда AC = 2a.

Обозначим угол BAC за x.

Так как ABCD параллелограмм, то AB || CD, следовательно, углы BAC и ACD - накрест лежащие, и угол BAC равен углу ACD, то есть x = 112°.

В треугольнике ABC известны две стороны (AB = a, AC = 2a) и угол между ними (∠BAC = 112°). Воспользуемся теоремой косинусов для нахождения стороны BC:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \\cdot AB \\cdot AC \\cdot cos∠BAC$$ $$BC^2 = a^2 + (2a)^2 - 2 \\cdot a \\cdot 2a \\cdot cos112°$$ $$BC^2 = a^2 + 4a^2 - 4a^2 \\cdot cos112°$$

Так как cos112° = -cos68°, то

$$BC^2 = 5a^2 + 4a^2 \\cdot cos68°$$

По свойству параллелограмма, BC = AD. Рассмотрим треугольник ACD. В нем AC = 2a, AD = BC = √(5a² + 4a² · cos68°), ∠ACD = 112°.

Применим теорему косинусов для стороны AD:

$$AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 \\cdot AC \\cdot CD \\cdot cos∠ACD$$ $$5a^2 + 4a^2 \\cdot cos68° = (2a)^2 + a^2 - 2 \\cdot 2a \\cdot a \\cdot cos112°$$ $$5a^2 + 4a^2 \\cdot cos68° = 4a^2 + a^2 - 4a^2 \\cdot (-cos68°)$$ $$5a^2 + 4a^2 \\cdot cos68° = 5a^2 + 4a^2 \\cdot cos68°$$

Получили тождество, что не позволяет нам найти углы.

Рассмотрим треугольник ABC. По теореме синусов:

$$\frac{BC}{sin∠BAC} = \frac{AC}{sin∠ABC}$$ $$\frac{BC}{sin112°} = \frac{2a}{sin∠ABC}$$

Так как sin112° = sin68°

$$sin∠ABC = \frac{2a \\cdot sin112°}{BC} = \frac{2a \\cdot sin68°}{\sqrt{5a^2 + 4a^2 \\cdot cos68°}} = \frac{2sin68°}{\sqrt{5 + 4cos68°}}$$ $$∠ABC = arcsin(\frac{2sin68°}{\sqrt{5 + 4cos68°}})$$

Найдем угол ACB:

$$∠ACB = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 180° - 112° - arcsin(\frac{2sin68°}{\sqrt{5 + 4cos68°}}) = 68° - arcsin(\frac{2sin68°}{\sqrt{5 + 4cos68°}})$$

Пусть О - точка пересечения диагоналей.

Рассмотрим треугольник AOB.

Угол OAB = углу CAB = 112°

Угол OBA = углу DBA

В параллелограмме противоположные стороны равны, углы прилежащие к одной стороне в сумме дают 180°.

Следовательно, угол ABC = 180° - угол BAD

угол BAD = углу BCD, угол ABC = углу ADC

По свойству параллелограмма, угол BCD = углу ACD + углу ACB

угол BCD = 112° + углу ACB

угол ABC = 180 - (112 + углу ACB)

угол ABC = 68 - углу ACB

$$∠ABC = 68 - (68° - arcsin(\frac{2sin68°}{\sqrt{5 + 4cos68°}})) = arcsin(\frac{2sin68°}{\sqrt{5 + 4cos68°}})$$

Рассмотрим треугольник AOB. Сумма углов треугольника равна 180°

∠AOB = 180° - ∠OAB - ∠OBA

∠AOB = 180° - 112° - ∠OBA

∠OBA = arcsin(2sin68°/(√(5 + 4cos68°)))

$$∠AOB = 68 - arcsin(\frac{2sin68°}{\sqrt{5 + 4cos68°}})$$

угол между диагоналями - это угол AOB и BOC, они смежные.

Если угол AOB острый, то он и будет ответом. Если тупой, то вычтем из 180.

sin68° ≈ 0.927

cos68° ≈ 0.375

$$arcsin(\frac{2sin68°}{\sqrt{5 + 4cos68°}}) = arcsin(\frac{2 \\cdot 0.927}{\sqrt{5 + 4 \\cdot 0.375}}) = arcsin(\frac{1.854}{\sqrt{5 + 1.5}}) = arcsin(\frac{1.854}{\sqrt{6.5}}) ≈ arcsin(\frac{1.854}{2.55}) ≈ arcsin(0.727) ≈ 46.6°$$

Тогда, угол AOB = 68 - 46.6 = 21.4°

угол BOC = 180 - 21.4 = 158.6°

Острый угол между диагоналями - 21.4°.

Ответ: 21.4°