18. В параллелограмме ABCD диагональ АС в два раза больше стороны АВ и ∠ACD = 112°. Найди острый угол между диагоналями параллелограмма.

Рассмотрим параллелограмм ABCD, в котором диагональ AC в два раза больше стороны AB и ∠ACD = 112°. Необходимо найти острый угол между диагоналями параллелограмма.

Пусть AB = a, тогда AC = 2a. Так как ABCD параллелограмм, то AB = CD = a.

Рассмотрим треугольник ACD. В этом треугольнике известны две стороны AC = 2a, CD = a и угол между ними ∠ACD = 112°.

По теореме косинусов найдем сторону AD:

$$AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 \cdot AC \cdot CD \cdot cos∠ACD$$ $$AD^2 = (2a)^2 + a^2 - 2 \cdot 2a \cdot a \cdot cos112°$$ $$AD^2 = 4a^2 + a^2 - 4a^2 \cdot (-0.3746)$$ $$AD^2 = 5a^2 + 1.4984a^2$$ $$AD^2 = 6.4984a^2$$ $$AD = \sqrt{6.4984a^2} = 2.5492a$$

Так как ABCD параллелограмм, то BC = AD = 2.5492a.

Рассмотрим треугольник ABC. В этом треугольнике известны три стороны: AB = a, BC = 2.5492a и AC = 2a.

По теореме косинусов найдем угол ∠BAC:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot cos∠BAC$$ $$(2.5492a)^2 = a^2 + (2a)^2 - 2 \cdot a \cdot 2a \cdot cos∠BAC$$ $$6.4984a^2 = a^2 + 4a^2 - 4a^2 \cdot cos∠BAC$$ $$6.4984a^2 = 5a^2 - 4a^2 \cdot cos∠BAC$$ $$1.4984a^2 = - 4a^2 \cdot cos∠BAC$$ $$cos∠BAC = \frac{1.4984a^2}{-4a^2} = -0.3746$$ $$∠BAC = arccos(-0.3746) = 112°$$

В параллелограмме ABCD противоположные углы равны, то есть ∠BCD = ∠BAC = 112° и ∠ABC = ∠ADC.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна 180°.

$$∠ABC + ∠BCD = 180°$$ $$∠ABC + 112° = 180°$$ $$∠ABC = 180° - 112° = 68°$$

Следовательно, ∠ADC = ∠ABC = 68°.

Рассмотрим треугольник OCD. Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то OC = AC/2 = a и OD = BD/2.

Примем угол между диагоналями за x, то есть ∠COD = x.

По теореме косинусов найдем сторону CD:

$$CD^2 = OC^2 + OD^2 - 2 \cdot OC \cdot OD \cdot cos∠COD$$ $$a^2 = a^2 + OD^2 - 2 \cdot a \cdot OD \cdot cosx$$ $$0 = OD^2 - 2 \cdot a \cdot OD \cdot cosx$$ $$OD(OD - 2a \cdot cosx) = 0$$ $$OD = 2a \cdot cosx$$

Рассмотрим треугольник AOD. По теореме косинусов найдем сторону AD:

$$AD^2 = AO^2 + OD^2 - 2 \cdot AO \cdot OD \cdot cos∠AOD$$

Так как ∠AOD и ∠COD смежные, то ∠AOD = 180 - x и cos∠AOD = -cosx.

$$AD^2 = a^2 + (2a \cdot cosx)^2 - 2 \cdot a \cdot 2a \cdot cosx \cdot (-cosx)$$ $$(2.5492a)^2 = a^2 + 4a^2 \cdot cos^2x + 4a^2 \cdot cos^2x$$ $$6.4984a^2 = a^2 + 8a^2 \cdot cos^2x$$ $$5.4984a^2 = 8a^2 \cdot cos^2x$$ $$cos^2x = \frac{5.4984a^2}{8a^2} = 0.6873$$ $$cosx = \sqrt{0.6873} = 0.8291$$ $$x = arccos(0.8291) = 34°$$

Так как необходимо найти острый угол между диагоналями параллелограмма, то ответ 34°.

Ответ: 34