18. В параллелограмме ABCD диагональ АС в два раза больше стороны АВ и ∠ACD = 112°. Найди острый угол между диагоналями параллелограмма.

Для решения задачи необходимо воспользоваться свойствами параллелограмма и соотношениями углов, а также теоремой синусов или косинусов.

Пусть AB = a, тогда AC = 2a. Обозначим угол между диагоналями как ∠AOD = x. Также обозначим ∠CAD = y.

1. Рассмотрим треугольник ACD. Известно, что ∠ACD = 112°. Так как ABCD параллелограмм, то AB = CD = a и AC = 2a. Используем теорему синусов в треугольнике ACD:

$$\frac{CD}{\sin(\angle CAD)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)}$$

$$\frac{a}{\sin(y)} = \frac{2a}{\sin(\angle ADC)}$$

$$\sin(\angle ADC) = 2\sin(y)$$

2. В параллелограмме противоположные углы равны, то есть ∠ABC = ∠ADC и ∠BAD = ∠BCD. Также сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°: ∠ADC + ∠BCD = 180°.

3. Угол BCD можно представить как сумму углов ∠ACD и ∠ACB, то есть ∠BCD = ∠ACD + ∠ACB = 112° + ∠ACB. Обозначим ∠ACB = z, тогда ∠BCD = 112° + z. Соответственно, ∠ADC = 180° - (112° + z) = 68° - z.

4. Зная ∠ADC, можно найти sin(∠ADC) = sin(68° - z). Из предыдущего уравнения sin(∠ADC) = 2sin(y), следовательно, 2sin(y) = sin(68° - z).

5. Рассмотрим треугольник ABC. В нем AB = a, AC = 2a, ∠ACB = z. Используем теорему синусов:

$$\frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)}$$

$$\frac{a}{\sin(z)} = \frac{2a}{\sin(\angle ABC)}$$

$$\sin(\angle ABC) = 2\sin(z)$$

6. ∠ABC = ∠ADC = 68° - z, то есть sin(68° - z) = 2sin(z).

7. Раскроем sin(68° - z) как sin(68°)cos(z) - cos(68°)sin(z) = 2sin(z). Перенесем все в одну сторону: sin(68°)cos(z) = (2 + cos(68°))sin(z). Отсюда tg(z) = sin(68°) / (2 + cos(68°)).

8. Найдем значение z: z = arctg(sin(68°) / (2 + cos(68°))) ≈ arctg(0.42) ≈ 22.8°.

9. Тогда ∠ADC = 68° - 22.8° = 45.2°.

10. Теперь рассмотрим треугольник AOD, где O - точка пересечения диагоналей. ∠OAD = ∠CAD = y. Сумма углов треугольника AOD равна 180°, то есть x + ∠OAD + ∠ODA = 180°. ∠ODA = ∠ODC = ∠ACB = z = 22.8°.

11. Чтобы найти y, используем, что сумма углов CAD и ACD равна углу BAD. ∠BAD = 180 - 45.2 = 134.8. 134. 8 = y + 112, значит y = 134.8 - 112 = 22.8

12. Угол между диагоналями x = 180 - 22.8 - 22.8 = 134.4

Так как нам нужен острый угол, то 180 - 134.4 = 45.6

Ответ: 46