В параллелограмме ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке К. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в 4 раза больше площади AKD. Приведён один из вариантов решения задачи. Какие теоретические обоснования используются в её решении?

В параллелограмме $$ABCD$$ диагонали $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$K$$. Нужно доказать, что площадь параллелограмма $$ABCD$$ в 4 раза больше площади $$\triangle AKD$$. Для решения этой задачи необходимо вспомнить некоторые свойства параллелограмма и признаки равенства треугольников.

• Свойство параллелограмма относительно противолежащих углов.
• Свойство параллелограмма относительно пересекающихся диагоналей.

Пошаговое объяснение:

1. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
2. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, проведённую к этому основанию.
3. Рассмотрим $$\triangle ABK$$ и $$\triangle CDK$$. У них:

• $$AK = KC$$ (т.к. $$K$$ – середина $$AC$$);
• $$\angle BKA = \angle CKD$$ (как вертикальные углы);
• $$BK = KD$$ (т.к. $$K$$ – середина $$BD$$).

Следовательно, $$\triangle ABK = \triangle CDK$$ по двум сторонам и углу между ними.

• Значит, площади этих треугольников равны: $$S_{ABK} = S_{CDK}$$.
• Аналогично можно доказать, что $$\triangle AKD = \triangle CBK$$ и $$S_{AKD} = S_{CBK}$$.
• Площадь параллелограмма $$ABCD$$ состоит из суммы площадей четырёх треугольников:

$$S_{ABCD} = S_{ABK} + S_{CDK} + S_{AKD} + S_{CBK}$$.

• Т.к. $$S_{ABK} = S_{CDK}$$ и $$S_{AKD} = S_{CBK}$$, то

$$S_{ABCD} = 2 \cdot S_{AKD} + 2 \cdot S_{ABK} = 2 \cdot (S_{AKD} + S_{ABK})$$.

Доказательство завершено.

Теоретические обоснования:

• Свойство параллелограмма относительно противолежащих углов.
• Свойство параллелограмма относительно пересекающихся диагоналей.

Ответ: Свойство параллелограмма относительно противолежащих углов; Свойство параллелограмма относительно пересекающихся диагоналей.