В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. Точка $M$ — середина стороны $BC$. Прямая $AM$ пересекает диагональ $BD$ в точке $N$. Найдите длину диагонали $BD$, если $BN=7$.

Question

Вопрос: $Фото задания: В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. Точка $M$ — середина стороны $BC$. Прямая $AM$…$ Фото задания

В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. Точка $M$ — середина стороны $BC$. Прямая $AM$ пересекает диагональ $BD$ в точке $N$. Найдите длину диагонали $BD$, если $BN=7$.

Accepted Answer

Обозначим точку пересечения прямой $AM$ с диагональю $BD$ через $N$. Рассмотрим треугольник $BCD$: точка $M$ — середина стороны $BC$, а через неё проходит прямая, параллельная $CD$, поэтому в данной конфигурации используем координатное отношение.

Пусть $A=(0,0)$, $B=\mathbf b$, $D=\mathbf d$. Тогда $C=\mathbf b+\mathbf d$, а середина $BC$ имеет координаты $M=\mathbf b+\frac12\mathbf d$. Точки прямой $AM$ имеют вид $t(\mathbf b+\frac12\mathbf d)$, а точки диагонали $BD$ — $(1-s)\mathbf b+s\mathbf d$.

В точке пересечения коэффициенты при $\mathbf b$ и $\mathbf d$ совпадают: $t=1-s$ и $\frac t2=s$. Отсюда $t=\frac23$, $s=\frac13$. Следовательно, $BN:ND=1:2$, то есть $BN=\frac13BD$.

$BD=3\cdot BN=3\cdot7=21$.

Ответ: 21.