В параллелограмме ABCD диагонали являются биссектрисами его углов, АВ = 39, АС = 72. Найдите длину диагонали BD.

В параллелограмме, у которого диагонали являются биссектрисами углов, этот параллелограмм — ромб.

В ромбе все стороны равны. Следовательно, AB = BC = CD = DA = 39.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD. Тогда AO = OC = AC/2 = 72/2 = 36.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO. В нем известны катет AB = 39 и катет AO = 36. Найдем катет BO по теореме Пифагора:

$$BO = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{39^2 - 36^2} = \sqrt{1521 - 1296} = \sqrt{225} = 15$$

Так как диагонали в точке пересечения делятся пополам, то BD = 2 * BO = 2 * 15 = 30.

Ответ: 30