В параллелограмме ABCD известно, что АВ = 3, BC = 6. Найдите градусную меру угла \(\angle AMD\), где М – середина стороны ВС.

Решение:

1. Так как \(M\) — середина \(BC\), то \(BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3\).
2. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, \(AD = BC = 6\) и \(AB = CD = 3\).
3. Рассмотрим треугольник \(ABM\). В нем \(AB = BM = 3\), значит, треугольник \(ABM\) — равнобедренный.
4. Так как \(AD \parallel BC\), то \(\angle ADB = \angle DBC\) как накрест лежащие углы.
5. Рассмотрим треугольник \(AMD\). Из теоремы косинусов выразим \(AM^2\):
   \[AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 \cdot AB \cdot BM \cdot \cos(\angle B)\]
6. Найдем \(\cos(\angle B)\). Для этого рассмотрим треугольник \(CDM\). В нем \(CD = 3\), \(MC = 3\), \(DM\) — неизвестно. Снова воспользуемся теоремой косинусов:
   \[DM^2 = CD^2 + MC^2 - 2 \cdot CD \cdot MC \cdot \cos(\angle C)\]
7. Так как \(\angle B + \angle C = 180^\circ\) (свойство углов параллелограмма), то \(\cos(\angle C) = -\cos(\angle B)\). Тогда:
   \[DM^2 = 3^2 + 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot (-\cos(\angle B)) = 18 + 18 \cos(\angle B)\]
8. Теперь рассмотрим треугольник \(AMD\). В нем:
   \[AM^2 = AD^2 + DM^2 - 2 \cdot AD \cdot DM \cdot \cos(\angle D)\]
   Так как \(\angle D = \angle B\) (противоположные углы параллелограмма), то:
   \[AM^2 = 6^2 + (18 + 18 \cos(\angle B)) - 2 \cdot 6 \cdot \sqrt{18 + 18 \cos(\angle B)} \cdot \cos(\angle B)\]
9. Выразим \(AM^2\) из треугольника \(ABM\):
   \[AM^2 = 3^2 + 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \cos(\angle B) = 18 - 18 \cos(\angle B)\]
10. Приравняем выражения для \(AM^2\):
    \[18 - 18 \cos(\angle B) = 36 + 18 + 18 \cos(\angle B) - 12 \cdot \sqrt{18 + 18 \cos(\angle B)} \cdot \cos(\angle B)\]
    \[12 \cdot \sqrt{18 + 18 \cos(\angle B)} \cdot \cos(\angle B) = 36 + 36 \cos(\angle B)\]
    \[\sqrt{18 + 18 \cos(\angle B)} \cdot \cos(\angle B) = 3 + 3 \cos(\angle B)\]
11. Возведем обе части уравнения в квадрат:
    \[(18 + 18 \cos(\angle B)) \cdot \cos^2(\angle B) = 9 + 18 \cos(\angle B) + 9 \cos^2(\angle B)\]
    \[18 \cos^2(\angle B) + 18 \cos^3(\angle B) = 9 + 18 \cos(\angle B) + 9 \cos^2(\angle B)\]
    \[18 \cos^3(\angle B) + 9 \cos^2(\angle B) - 18 \cos(\angle B) - 9 = 0\]
    \[2 \cos^3(\angle B) + \cos^2(\angle B) - 2 \cos(\angle B) - 1 = 0\]
    \[( \cos(\angle B) - 1)(2\cos^2(\angle B) + 3\cos(\angle B) + 1) = 0\]
    \[( \cos(\angle B) - 1)( \cos(\angle B) + 1)(2\cos(\angle B) + 1) = 0\]
12. Решениями уравнения будут:
    \[\cos(\angle B) = 1, \cos(\angle B) = -1, \cos(\angle B) = -\frac{1}{2}\]
    Тогда углы \(\angle B\) могут быть равны \(0^\circ\), \(180^\circ\) или \(120^\circ\). Очевидно, что \(0^\circ\) и \(180^\circ\) не подходят, значит, \(\angle B = 120^\circ\).
13. В треугольнике \(ABM\) известны все стороны: \(AB = 3\), \(BM = 3\), \(AM = \sqrt{18 - 18 \cos(120^\circ)} = \sqrt{18 - 18 \cdot (-\frac{1}{2})} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\).
14. Найдем угол \(\angle BAM\) по теореме косинусов:
    \[BM^2 = AB^2 + AM^2 - 2 \cdot AB \cdot AM \cdot \cos(\angle BAM)\]
    \[9 = 9 + 27 - 2 \cdot 3 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \cos(\angle BAM)\]
    \[\cos(\angle BAM) = \frac{27}{18\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]
    Значит, \(\angle BAM = 30^\circ\).
15. Аналогично найдем угол \(\angle ADM\). В треугольнике \(AMD\) известны все стороны: \(AD = 6\), \(AM = 3\sqrt{3}\), \(DM = \sqrt{18 + 18 \cos(120^\circ)} = \sqrt{18 + 18 \cdot (-\frac{1}{2})} = \sqrt{9} = 3\).
16. Тогда:
    \[AM^2 = AD^2 + DM^2 - 2 \cdot AD \cdot DM \cdot \cos(\angle ADM)\]
    \[27 = 36 + 9 - 2 \cdot 6 \cdot 3 \cdot \cos(\angle ADM)\]
    \[\cos(\angle ADM) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}\]
    Значит, \(\angle ADM = 60^\circ\).
17. Теперь найдем угол \(\angle AMD\):
    \[\angle AMD = 180^\circ - \angle MAD - \angle ADM\]
    \[\angle MAD = \angle BAD - \angle BAM\]
    Так как \(\angle BAD = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\), то \(\angle MAD = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ\).
18. Окончательно получим:
    \[\angle AMD = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ\]

Ответ: \(90^\circ\)