В параллелограмме ABCD известны координаты трёх вершин: A (0; 0), B (5; 0), C (12; 3). Найдите скалярное произведение векторов АВ и AD.

Решение:

Дано, что ABCD — параллелограмм. Координаты вершин: \( A(0; 0) \), \( B(5; 0) \), \( C(12; 3) \).

1. Найдем координаты вектора \( \vec{AB} \): \( \vec{AB} = (5 - 0; 0 - 0) = (5; 0) \).
2. В параллелограмме \( \vec{AD} = \vec{BC} \). Найдем координаты вектора \( \vec{BC} \): \( \vec{BC} = (12 - 5; 3 - 0) = (7; 3) \).
3. Следовательно, координаты вектора \( \vec{AD} \) равны \( (7; 3) \).
4. Найдем скалярное произведение векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AD} \): \( \vec{AB} \cdot \vec{AD} = 5 \cdot 7 + 0 \cdot 3 = 35 + 0 = 35 \).

Ответ: 35.