В параллелограмме ABCD известны координаты трёх вершин: A (2; 3), B (5; 7), D (10; 1). Найдите скалярное произведение векторов АВ и ВС.

Решение:

Дано, что ABCD — параллелограмм. Координаты вершин: \( A(2; 3) \), \( B(5; 7) \), \( D(10; 1) \).

1. Найдем координаты вектора \( \vec{AB} \): \( \vec{AB} = (5 - 2; 7 - 3) = (3; 4) \).
2. В параллелограмме \( \vec{BC} = \vec{AD} \). Найдем координаты вектора \( \vec{AD} \): \( \vec{AD} = (10 - 2; 1 - 3) = (8; -2) \).
3. Следовательно, координаты вектора \( \vec{BC} \) равны \( (8; -2) \).
4. Найдем скалярное произведение векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{BC} \): \( \vec{AB} \cdot \vec{BC} = 3 \cdot 8 + 4 \cdot (-2) = 24 - 8 = 16 \).

Ответ: 16.