В параллелограмме ABCD K — середина BC. O — точка пересечения диагоналей. Выразите вектор \(\overrightarrow{KD}\) через векторы \(\overrightarrow{AK}\) и \(\overrightarrow{KO}\).

Обозначим радиус-векторы точек буквами с теми же обозначениями.

Так как ABCD — параллелограмм, имеем:

\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\), поэтому \(D=A+C-B\).

Поскольку K — середина BC:

\[K=\frac{B+C}{2}.\]

Точка O — середина диагонали AC:

\[O=\frac{A+C}{2}.\]

Тогда

\[\overrightarrow{AK}=K-A=\frac{B+C-2A}{2},\]

\[\overrightarrow{KO}=O-K=\frac{A-B}{2}.\]

Искомый вектор:

\[\overrightarrow{KD}=D-K=A+C-B-\frac{B+C}{2}=\frac{2A+C-3B}{2}.\]

Сравним его с комбинацией \(\overrightarrow{AK}+4\overrightarrow{KO}\):

\[\overrightarrow{AK}+4\overrightarrow{KO}=\frac{B+C-2A}{2}+4\cdot\frac{A-B}{2}=\frac{2A+C-3B}{2}.\]

Ответ: \(\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{AK}+4\overrightarrow{KO}\).