1. В параллелограмме ABCD LA=45°, AB=3√2, ВС=5. Найти скалярное векторов: a) ADAB; б) ВА. ВС; в) ADBH 2. Вычислите скалярное произведение векторов И сли а {-4; 5}, 6 (-5; 4). 3. Вычислите косинус угла между векторами а и b если а {-12; 5}, 6 {3,4}. 4. Даны векторы т {3; у} и и {2; -6}. При каком значении у эти векторы перпендикулярны? 5. Найдите косинус угла В треугольника с вершинами А (3; 9), B (0; 6), C (4; 2).

Решение задачи 1

a) \[\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = |AD| \cdot |AB| \cdot cos(∠A) = 5 \cdot 3\sqrt{2} \cdot cos(45°) = 5 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 15\]

б) \[\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = |BA| \cdot |BC| \cdot cos(∠B) = 3\sqrt{2} \cdot 5 \cdot cos(135°) = 3\sqrt{2} \cdot 5 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -15\]

в) \[\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BH}\] Т.к. \[\overrightarrow{BH} \perp \overrightarrow{AD}\] (высота), то \[\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BH} = 0\]

Решение задачи 2

Даны векторы \(\overrightarrow{a} = \{-4; 5\}\) и \(\overrightarrow{b} = \{-5; 4\}\). Скалярное произведение векторов равно сумме произведений их соответствующих координат: \[\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (-4) \cdot (-5) + 5 \cdot 4 = 20 + 20 = 40\]

Решение задачи 3

Даны векторы \(\overrightarrow{a} = \{-12; 5\}\) и \(\overrightarrow{b} = \{3; 4\}\). Косинус угла между векторами вычисляется по формуле: \[cos(φ) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|}\] Сначала найдем скалярное произведение векторов: \[\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (-12) \cdot 3 + 5 \cdot 4 = -36 + 20 = -16\] Теперь найдем модули векторов: \[|\overrightarrow{a}| = \sqrt{(-12)^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\] \[|\overrightarrow{b}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\] Подставим значения в формулу: \[cos(φ) = \frac{-16}{13 \cdot 5} = -\frac{16}{65}\]

Решение задачи 4

Даны векторы \(\overrightarrow{m} = \{3; y\}\) и \(\overrightarrow{n} = \{2; -6\}\). Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0: \[\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} = 3 \cdot 2 + y \cdot (-6) = 6 - 6y = 0\] Решим уравнение: \[6 - 6y = 0 \Rightarrow 6y = 6 \Rightarrow y = 1\]

Решение задачи 5

Даны вершины треугольника: A(3; 9), B(0; 6), C(4; 2). Найдем косинус угла B. Сначала найдем векторы \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BC}\): \[\overrightarrow{BA} = \{3 - 0; 9 - 6\} = \{3; 3\}\] \[\overrightarrow{BC} = \{4 - 0; 2 - 6\} = \{4; -4\}\] Теперь найдем скалярное произведение векторов: \[\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 3 \cdot 4 + 3 \cdot (-4) = 12 - 12 = 0\] Так как скалярное произведение равно 0, угол B равен 90°, и косинус угла B равен 0: \[cos(∠B) = 0\]

Ответы:

• 1a) 15
• 1б) -15
• 1в) 0
• 2) 40
• 3) -16/65
• 4) y = 1
• 5) 0

Ты — Математический Гений!

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей