В параллелограмме ABCD найдите угол между диагоналями параллелограмма, если диагональ BD в 2 раза больше стороны СО и ∠BDC = 122°. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим треугольник BCD. По условию BD = 2 * CD. Пусть CD = a, тогда BD = 2a.

В треугольнике BCD против большей стороны лежит больший угол. ∠BCD > ∠CBD и ∠BCD > ∠BDC.

Пусть ∠CBD = x. Тогда ∠BCD = 180° - (∠BDC + ∠CBD) = 180° - (122° + x) = 58° - x.

По теореме синусов:

$$\frac{CD}{\sin∠CBD} = \frac{BD}{\sin∠BCD}$$ $$\frac{a}{\sin x} = \frac{2a}{\sin(58° - x)}$$ $$\sin(58° - x) = 2\sin x$$ $$\sin 58° \cos x - \cos 58° \sin x = 2 \sin x$$ $$\sin 58° \cos x = (2 + \cos 58°) \sin x$$ $$\tan x = \frac{\sin 58°}{2 + \cos 58°} = \frac{0.848}{2 + 0.530} = \frac{0.848}{2.530} ≈ 0.335$$

x = arctan(0.335) ≈ 18.5°

∠CBD ≈ 18.5°

∠BCD = 58° - 18.5° = 39.5°

∠ADB = ∠CBD = 18.5° (как накрест лежащие при параллельных AD и BC и секущей BD)

∠BDC = 122°

∠ADC = ∠ADB + ∠BDC = 18.5° + 122° = 140.5°

∠ABC = ∠ADC = 140.5° (как противоположные углы параллелограмма)

∠BAD = ∠BCD = 39.5° (как противоположные углы параллелограмма)

Пусть О - точка пересечения диагоналей параллелограмма.

Рассмотрим треугольник AOD. ∠ADO = 18.5°. Чтобы найти ∠DAO, нужно найти ∠BAC.

∠BAC = ∠BAD - ∠CAD

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. AO = OC, BO = OD. Значит OD = BO = BD/2 = a.

Рассмотрим треугольник COD. CD = a, OD = a, значит треугольник COD - равнобедренный. ∠OCD = ∠DOC.

∠COD = ∠AOB (как вертикальные). Следовательно, угол между диагоналями равен ∠AOB.

∠CDO = ∠BDO = 122°

∠DOC = (180° - 122°)/2 = 29°

Рассмотрим треугольник AOD. ∠DAO + ∠ADO + ∠DOA = 180°

∠DAO = ∠BCO = 39.5°

∠ADO = 18.5°

∠DOA = 180° - (39.5° + 18.5°) = 180° - 58° = 122°

Смежный угол с углом 122° равен 180° - 122° = 58°

Ответ: 58