В параллелограмме ABCD O — точка пересечения диагоналей. Найди |\(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{OB}\)|, если AD = 8 см, CD = 6 см, а перпендикуляр, опущенный из вершины D на диагональ AC, равен 4 см.

Обозначим радиус-векторы вершин буквами \(A,B,C,D,O\). Тогда

\[\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{OB}=(B-C)+(D-C)-(A-B)-(B-O)=A+B+D-2C-O.\]

В параллелограмме \(A+C=B+D\), а точка пересечения диагоналей — середина диагонали \(AC\), поэтому \(O=(A+C)/2\). Следовательно, выражение равно \(\frac32(A-C)=-\frac32\overrightarrow{AC}\), а его длина равна \(\frac32 AC\).

Высота из \(D\) на диагональ \(AC\) делит треугольник \(ADC\) на прямоугольные треугольники. Проекции катетов на \(AC\) равны \(\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt3\) и \(\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt5\). Для проекции на диагональ получаем \(AC=4\sqrt3+2\sqrt5\).

Тогда \[\frac32 AC=\frac32(4\sqrt3+2\sqrt5)=6\sqrt3+3\sqrt5\text{ см}.\]

Ответ: \(6\sqrt3+3\sqrt5\) см.