В параллелограмме ABCD проведены высоты BH и BE к сторонам AD и CD соответственно, при этом BH = BE. Докажите, что ABCD — ромб.

Дано:

• ABCD — параллелограмм
• BH — высота к стороне AD
• BE — высота к стороне CD
• BH = BE

Доказать: ABCD — ромб.

Решение:

1. Площадь параллелограмма можно вычислить двумя способами:
   • Через основание AD и высоту BH: S = AD · BH
   • Через основание CD и высоту BE: S = CD · BE
2. Поскольку площадь параллелограмма одна и та же, мы можем приравнять эти выражения:
   AD · BH = CD · BE
3. По условию задачи, BH = BE. Подставим это в уравнение:
   AD · BH = CD · BH
4. Сократим обе части на BH (так как высота не может быть равна нулю):
   AD = CD
5. В параллелограмме противолежащие стороны равны (AB = CD и BC = AD). Мы доказали, что смежные стороны AD и CD также равны.
6. Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом.

Доказано.