17. В параллелограмме ABCD точка Е — середина стороны CD. Известно, что ЕА = ЕВ. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Т.к. ABCD - параллелограмм, то AB||CD и AD||BC. AE = BE, следовательно, треугольник ABE - равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠EAB = ∠EBA.

∠EAB = ∠EDC (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей AE). ∠EBA = ∠BCA (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BE). Т.к. AE = BE, следовательно, ∠EDC = ∠BCA. Тогда ∠ADC = ∠BCA = ∠EDC. Т.к. ABCD - параллелограмм, то ∠ADC + ∠BCD = 180°. А т.к. ∠ADC = ∠BCA, то ∠ADC = ∠BCA = 90°. Следовательно, ABCD - прямоугольник.

Ответ: Доказано, что данный параллелограмм — прямоугольник.