В параллелограмме ABCD точка E – середина стороны AD, а F – середина AB. Обозначим векторы AB = а и AD = b. Выразите векторы FD и EC через а и b.

Краткое пояснение:

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Будем выражать искомые векторы как сумму или разность известных векторов, используя свойства параллелограмма и то, что E и F являются серединами сторон.

Пошаговое решение:

1. Выразим вектор FD:

• Вектор FD можно представить как разность векторов AD и AF: \[ \vec{FD} = \vec{AD} - \vec{AF} \]
• По условию, \( \vec{AD} = \vec{b} \).
• Так как F - середина стороны AB, то \( \vec{AF} = \frac{1}{2} \vec{AB} \).
• По условию, \( \vec{AB} = \vec{a} \). Следовательно, \( \vec{AF} = \frac{1}{2} \vec{a} \).
• Подставляем в выражение для \( \vec{FD} \): \( \vec{FD} = \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{a} \).

2. Выразим вектор EC:

• Вектор EC можно представить как разность векторов AC и AE. Однако, проще использовать другую цепочку: \( \vec{EC} = \vec{ED} + \vec{DC} \).
• Так как ABCD — параллелограмм, то \( \vec{DC} = \vec{AB} = \vec{a} \).
• Точка E — середина AD, поэтому \( \vec{ED} = \frac{1}{2} \vec{AD} = \frac{1}{2} \vec{b} \).
• Подставляем в выражение для \( \vec{EC} \): \( \vec{EC} = \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{a} \).

Альтернативный способ для EC:

• \( \vec{EC} = \vec{AC} - \vec{AE} \)
• \( \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b} \) (по правилу сложения векторов для параллелограмма)
• \( \vec{AE} = \frac{1}{2} \vec{AD} = \frac{1}{2} \vec{b} \)
• \( \vec{EC} = (\vec{a} + \vec{b}) - \frac{1}{2} \vec{b} = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} \)

Ответ:

FD = ·ả+ ·b

EC = ·ả+ ·b