В параллелограмме ABCD точка G – середина стороны АВ. Известно, что GC = GD. Докажите, что данный параллелограмм - прямоугольник.

1. Проведем медианы $$CG$$ и $$DG$$ к сторонам $$AB$$ и $$AB$$ соответственно. В треугольнике $$AB D$$, $$G$$ - середина $$AB$$. В треугольнике $$ABC$$, $$G$$ - середина $$AB$$.

2. Рассмотрим треугольники $$GBC$$ и $$GAD$$. $$AG = GB$$ (по условию). $$BC = AD$$ (свойства параллелограмма). $$GC = GD$$ (по условию).

3. По трем сторонам, $$\triangle GBC = \triangle GAD$$. Следовательно, $$\angle GBC = \angle GAD$$. Так как $$AB \parallel CD$$, то $$\angle ABC + \angle BCD = 180^{\circ}$$. В параллелограмме $$\angle ABC = \angle ADC$$ и $$\angle BAD = \angle BCD$$.

4. Если $$\angle GBC = \angle GAD$$, то $$\angle ABC = \angle BAD$$. Так как сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $$180^{\circ}$$, то $$2\angle ABC = 180^{\circ}$$, откуда $$\angle ABC = 90^{\circ}$$. Следовательно, параллелограмм является прямоугольником.